ГДЗ: Упражнение 244 - Параграф § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

244 упражнение:

Решить систему уравнений (или неравенств), содержащую только одну переменную \( x \)

1) \( \begin{cases} 5^{2x + 1} > 625 \\ 11^{6x^2 - 10x} = 11^{9x - 15} \end{cases} \)

Ответ

Шаг 1: Решение второго уравнения.

Поскольку основания равны (\( 11 > 1 \)), приравниваем показатели:

\( 6x^2 - 10x = 9x - 15 \).
\( 6x^2 - 19x + 15 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-19)^2 - 4(6)(15) = 361 - 360 = 1 \).

Корни уравнения:

\( x = \frac{19 \pm 1}{12} \).
\( x_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \).
\( x_2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \).

Шаг 2: Решение первого неравенства.

Приведем неравенство к одинаковому основанию \( 5 \): \( 5^{2x + 1} > 5^4 \).

Поскольку основание \( 5 > 1 \), сохраняем знак неравенства для показателей:

\( 2x + 1 > 4 \).
\( 2x > 3 \).
\( x > \frac{3}{2} \).

Шаг 3: Нахождение общих решений.

Необходимо найти те решения уравнения (\( x = \frac{3}{2} \) или \( x = \frac{5}{3} \)), которые удовлетворяют неравенству \( x > \frac{3}{2} \):

Проверим \( x = \frac{3}{2} \): \( \frac{3}{2} > \frac{3}{2} \) — неверно.
Проверим \( x = \frac{5}{3} \): \( \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \) или \( \frac{10}{6} \). Так как \( \frac{5}{3} > \frac{3}{2} \) (то есть \( \frac{10}{6} > \frac{9}{6} \)), это — верно.

Ответ: Решением системы является \( x = \frac{5}{3} \).

2) \( \begin{cases} 0.3^{10x^2 - 47x} = 0.3^{10x - 7} \\ 3.7^{x^2} = 3.7^{0.04} \end{cases} \)

Ответ

Шаг 1: Решение первого уравнения.

Поскольку основания равны (\( 0.3 \ne 1 \)), приравниваем показатели:

\( 10x^2 - 47x = 10x - 7 \).
\( 10x^2 - 57x + 7 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-57)^2 - 4(10)(7) = 3249 - 280 = 2969 \).

Корни уравнения: \( x = \frac{57 \pm \sqrt{2969}}{20} \).

Шаг 2: Решение второго уравнения.

Поскольку основания равны (\( 3.7 > 1 \)), приравниваем показатели:

\( x^2 = 0.04 \).
\( x = \pm \sqrt{0.04} \).
\( x_1 = 0.2 \) и \( x_2 = -0.2 \).

Шаг 3: Нахождение общих решений.

Общее решение должно удовлетворять обоим уравнениям. Проверим, удовлетворяют ли корни второго уравнения корням первого (т.к. корни первого уравнения иррациональны и сложны):

Проверим \( x = 0.2 \) в первом уравнении \( 10x^2 - 57x + 7 = 0 \):
\( 10(0.2)^2 - 57(0.2) + 7 = 10(0.04) - 11.4 + 7 = 0.4 - 11.4 + 7 = -4 \ne 0 \).
Проверим \( x = -0.2 \) в первом уравнении \( 10x^2 - 57x + 7 = 0 \):
\( 10(-0.2)^2 - 57(-0.2) + 7 = 10(0.04) + 11.4 + 7 = 0.4 + 11.4 + 7 = 18.8 \ne 0 \).

Поскольку ни одно из решений второго уравнения не удовлетворяет первому уравнению, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.

Что применять при решении

Свойства степеней

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

\( (a^x)^y = a^{xy}, \quad a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \quad \frac{1}{a^n} = a^{-n} \)

Уравнение-следствие: равенство показателей

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \quad (a > 0, a \ne 1) \)

Неравенство-следствие: сравнение показателей

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

\( a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) > g(x), & \text{если } a > 1 \\ f(x) < g(x), & \text{если } 0 < a < 1 \end{cases} \)

Метод замены переменных

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).

\( u = a^x, v = a^y \quad (u > 0, v > 0) \)

Другие упражнения из параграфа § 14

240 241 242 243 244 245

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: § 14 — Системы показательных уравнений и неравенств
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.