ГДЗ: Упражнение 750 - Параграф § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

750 упражнение:

Сравнить числа:

1) \( \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ и } \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Функция \( y = \arcsin x \) является возрастающей на всей своей области определения \( x \in [-1; 1] \).

Шаг 2: Сравнение аргументов.

Сравним аргументы: \( x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( x_2 = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Возведем оба числа в квадрат для упрощения сравнения положительных чисел: \( (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \) и \( (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = \frac{1}{10} \).

Так как \( \frac{1}{3} > \frac{1}{10} \), то \( \frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Шаг 3: Сравнение значений арксинуса.

Поскольку функция \( y = \arcsin x \) возрастающая, если \( x_1 > x_2 \), то \( \arcsin x_1 > \arcsin x_2 \).

Следовательно, \( \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} > \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Ответ: \( \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} > \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} \).

2) \( \arcsin (-\frac{2}{3}) \text{ и } \arcsin (-\frac{3}{4}) \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции и аргументов.

Функция \( y = \arcsin x \) является возрастающей на \( [-1; 1] \).

Аргументы \( x_1 = -\frac{2}{3} \) и \( x_2 = -\frac{3}{4} \) оба отрицательны.

Шаг 2: Сравнение аргументов.

Сравним модули аргументов: \( |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} \) и \( |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \).

Приведем к общему знаменателю (12): \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) и \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \).

Так как \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), то \( |-\frac{2}{3}| < |-\frac{3}{4}| \).

Для отрицательных чисел это означает, что \( -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} \) (ближе к нулю).

Шаг 3: Сравнение значений арксинуса.

Поскольку функция \( y = \arcsin x \) возрастающая, если \( x_1 > x_2 \), то \( \arcsin x_1 > \arcsin x_2 \).

Следовательно, \( \arcsin (-\frac{2}{3}) > \arcsin (-\frac{3}{4}) \).

Ответ: \( \arcsin (-\frac{2}{3}) > \arcsin (-\frac{3}{4}) \).

Что применять при решении

Определение арксинуса

Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.

\( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)

Область определения арксинуса

Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].

\( -1 \le f(x) \le 1 \)

Определение арккосинуса

Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.

\( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)

Область определения арккосинуса

Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].

\( -1 \le f(x) \le 1 \)

Определение арктангенса

Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.

\( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)

Нечетность арксинуса и арктангенса

Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.

\( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)

Свойство арккосинуса

Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).

\( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

Другие упражнения из параграфа § 43

750 751 752 753 754 755 756 757

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 43 — Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.