ГДЗ: Упражнение 754 - Параграф § 43 (Обратные тригонометрические функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

754 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \arcsin \frac{x - 2}{4} = \frac{\pi}{4} \)

Ответ

Шаг 1: Применение определения арксинуса.

Уравнение \( \arcsin \frac{x - 2}{4} = \frac{\pi}{4} \) равносильно уравнению: \( \frac{x - 2}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \).

(Проверка: \( -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \), условие на значение арксинуса выполнено).

Шаг 2: Вычисление значения синуса.

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Получаем: \( \frac{x - 2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

Умножим обе части на 4: \( x - 2 = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( x - 2 = 2\sqrt{2} \).

\( x = 2 + 2\sqrt{2} \).

Шаг 4: Проверка.

Проверим, что аргумент \( \frac{x-2}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) находится в отрезке \( [-1; 1] \). Так как \( 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \), условие выполнено.

Ответ: \( x = 2 + 2\sqrt{2} \).

2) \( \arccos \frac{x + 3}{2} = \frac{\pi}{4} \)

Ответ

Шаг 1: Применение определения арккосинуса.

Уравнение \( \arccos \frac{x + 3}{2} = \frac{\pi}{4} \) равносильно уравнению: \( \frac{x + 3}{2} = \cos \frac{\pi}{4} \).

(Проверка: \( 0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi \), условие на значение арккосинуса выполнено).

Шаг 2: Вычисление значения косинуса.

\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Получаем: \( \frac{x + 3}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

Умножим обе части на 2: \( x + 3 = \sqrt{2} \).

\( x = \sqrt{2} - 3 \).

Шаг 4: Проверка.

Проверим, что аргумент \( \frac{x+3}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) находится в отрезке \( [-1; 1] \). Так как \( 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \), условие выполнено.

Ответ: \( x = \sqrt{2} - 3 \).

3) \( \arccos (2x + 3) = \frac{2\pi}{3} \)

Ответ

Шаг 1: Применение определения арккосинуса.

Уравнение \( \arccos (2x + 3) = \frac{2\pi}{3} \) равносильно уравнению: \( 2x + 3 = \cos \frac{2\pi}{3} \).

(Проверка: \( 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi \), условие на значение арккосинуса выполнено).

Шаг 2: Вычисление значения косинуса.

Используем формулу приведения: \( \cos \frac{2\pi}{3} = \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} \).

\( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).

Получаем: \( 2x + 3 = -\frac{1}{2} \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

Выразим \( 2x \): \( 2x = -\frac{1}{2} - 3 \).

\( 2x = -\frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{7}{2} \).

Разделим на 2: \( x = -\frac{7}{4} \).

Шаг 4: Проверка.

Проверим, что аргумент \( 2x + 3 = -\frac{1}{2} \) находится в отрезке \( [-1; 1] \). Так как \( -1 \le -\frac{1}{2} \le 1 \), условие выполнено.

Ответ: \( x = -\frac{7}{4} \).

4) \( \arccos \frac{2x - 1}{3} = \pi \)

Ответ

Шаг 1: Применение определения арккосинуса.

Уравнение \( \arccos \frac{2x - 1}{3} = \pi \) равносильно уравнению: \( \frac{2x - 1}{3} = \cos \pi \).

(Проверка: \( 0 \le \pi \le \pi \), условие на значение арккосинуса выполнено).

Шаг 2: Вычисление значения косинуса.

\( \cos \pi = -1 \).

Получаем: \( \frac{2x - 1}{3} = -1 \).

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

Умножим обе части на 3: \( 2x - 1 = -3 \).

\( 2x = -3 + 1 \).

\( 2x = -2 \).

Разделим на 2: \( x = -1 \).

Шаг 4: Проверка.

Проверим, что аргумент \( \frac{2x-1}{3} = -1 \) находится в отрезке \( [-1; 1] \). Условие выполнено.

Ответ: \( x = -1 \).

Что применять при решении

Определение арксинуса

Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.

\( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)

Область определения арксинуса

Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].

\( -1 \le f(x) \le 1 \)

Определение арккосинуса

Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.

\( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)

Область определения арккосинуса

Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].

\( -1 \le f(x) \le 1 \)

Определение арктангенса

Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.

\( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)

Нечетность арксинуса и арктангенса

Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.

\( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)

Свойство арккосинуса

Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).

\( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \)

Другие упражнения из параграфа § 43

750 751 752 753 754 755 756 757

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 43 — Обратные тригонометрические функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.