Доказать, что график функции \( y = \arccos x \) симметричен относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
1)
Ответ
Шаг 1: Условие симметрии графика функции относительно точки.
График функции \( y = f(x) \) симметричен относительно точки \( (a; b) \), если для любой точки \( (x_0; y_0) \) на графике, точка \( (2a - x_0; 2b - y_0) \) также лежит на графике.
В нашем случае точка симметрии \( (a; b) = (0; \frac{\pi}{2}) \). Условие симметрии принимает вид:
По определению арккосинуса, если \( \cos (\pi - \alpha) = -x \) и \( \pi - \alpha \in [0; \pi] \), то \( \arccos (-x) = \pi - \alpha \).
Подставим обратно \( \alpha = \arccos x \): \( \arccos (-x) = \pi - \arccos x \).
Перенесем \( \arccos x \) в левую часть: \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \).
Шаг 3: Заключение.
Поскольку условие симметрии \( f(-x) + f(x) = \pi \) выполняется для функции \( y = \arccos x \) на всей ее области определения \( [-1; 1] \), то график функции \( y = \arccos x \) симметричен относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
Ответ: Доказано на основании тождества \( \arccos (-x) + \arccos x = \pi \), которое является условием симметрии графика функции \( y = f(x) \) относительно точки \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
Что применять при решении
Определение арксинуса
Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
\( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
Область определения арксинуса
Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
\( -1 \le f(x) \le 1 \)
Определение арккосинуса
Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
\( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
Область определения арккосинуса
Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
\( -1 \le f(x) \le 1 \)
Определение арктангенса
Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
\( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
Нечетность арксинуса и арктангенса
Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
\( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
Свойство арккосинуса
Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
