Перепишем неравенство в стандартном виде: \( \frac{1}{3} \le x \le 1 \).
Область определения функции \( D(y) \) — это отрезок \( [\frac{1}{3}; 1] \).
Ответ: Область определения \( D(y) = [\frac{1}{3}; 1] \).
3)
\( y = \arccos (2\sqrt{x - 3}) \)
Ответ
Шаг 1: Условия существования функции.
Для существования функции \( y = \arccos (2\sqrt{x - 3}) \) должно выполняться два условия:
1. Условие существования подкоренного выражения: \( x - 3 \ge 0 \) (так как \( \sqrt{x-3} \) определен только для неотрицательных чисел).
2. Условие существования арккосинуса: \( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \le 1 \) (аргумент арккосинуса должен быть в \( [-1; 1] \)).
Шаг 2: Решение первого условия.
\( x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \).
Шаг 3: Решение второго условия.
\( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \le 1 \).
Так как \( \sqrt{x-3} \ge 0 \), то \( 2\sqrt{x - 3} \ge 0 \). Таким образом, левая часть неравенства \( -1 \le 2\sqrt{x - 3} \) выполняется автоматически для всех \( x \ge 3 \).
Остается рассмотреть только правую часть: \( 2\sqrt{x - 3} \le 1 \).
Разделим на 2: \( \sqrt{x - 3} \le \frac{1}{2} \).
Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, поэтому знак неравенства сохраняется): \( x - 3 \le (\frac{1}{2})^2 \).
\( x - 3 \le \frac{1}{4} \).
\( x \le 3 + \frac{1}{4} \).
\( x \le 3\frac{1}{4} \).
Шаг 4: Объединение условий.
Область определения — это пересечение условий \( x \ge 3 \) и \( x \le 3\frac{1}{4} \).
\( 3 \le x \le 3\frac{1}{4} \).
Ответ: Область определения \( D(y) = [3; 3\frac{1}{4}] \) или \( [3; \frac{13}{4}] \).
4)
\( y = \arcsin \frac{2x^2 - 5}{3} \)
Ответ
Шаг 1: Условие существования арксинуса.
Функция \( y = \arcsin f(x) \) определена, если \( -1 \le f(x) \le 1 \).
В нашем случае \( f(x) = \frac{2x^2 - 5}{3} \), поэтому должно выполняться неравенство: \( -1 \le \frac{2x^2 - 5}{3} \le 1 \).
Шаг 2: Решение двойного неравенства.
Умножим все части неравенства на 3: \( -3 \le 2x^2 - 5 \le 3 \).
Ответ: Область определения \( D(y) = [-2; -1] \cup [1; 2] \).
Что применять при решении
Определение арксинуса
Функция y = arcsin x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], синус которого равен x.
\( y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \)
Область определения арксинуса
Функция y = \arcsin f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
\( -1 \le f(x) \le 1 \)
Определение арккосинуса
Функция y = \arccos x определена для каждого x \in [-1; 1] как число y из отрезка [0; \pi], косинус которого равен x.
\( y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = x, \text{ где } x \in [-1; 1] \text{ и } y \in [0; \pi] \)
Область определения арккосинуса
Функция y = \arccos f(x) определена только тогда, когда аргумент f(x) находится в отрезке [-1; 1].
\( -1 \le f(x) \le 1 \)
Определение арктангенса
Функция y = \text{arctg } x определена для любого действительного числа x \in (-\infty; +\infty) как число y из интервала (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), тангенс которого равен x.
\( y = \text{arctg } x \Leftrightarrow \text{tg } y = x, \text{ где } x \in (-\infty; +\infty) \text{ и } y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \)
Нечетность арксинуса и арктангенса
Функции арксинус и арктангенс являются нечетными.
\( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x \)
Свойство арккосинуса
Функция арккосинус обладает свойством: \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
