Равенство \( (6 + 8) \cdot 4 = 6 \cdot 4 + 8 \cdot 4 \) верно на основании распределительного свойства умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения гласит, чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные результаты. То есть \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \).
В данном случае, число \( 4 \) умножили на каждое слагаемое \( 6 \) и \( 8 \) и сложили произведения.
Равенство \( (9 + 5 + 1 + 6) \cdot 8 = 9 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + 6 \cdot 8 \) верно на основании распределительного свойства умножения относительно сложения.
Это свойство применимо не только к сумме двух слагаемых, но и к сумме любого количества слагаемых. Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое.
Оно означает, что если любое число \( c \) умножить на \( 1 \), то в результате получится то же самое число \( c \).
Например, \( 5 \cdot 1 = 5 \) или \( 100 \cdot 1 = 100 \).
2)
\( b \cdot 0 = 0 \)
Ответ
Объяснение:
Эта запись выражает свойство умножения на 0.
Оно означает, что если любое число \( b \) умножить на \( 0 \), то в результате получится \( 0 \).
Например, \( 7 \cdot 0 = 0 \) или \( 546 \cdot 0 = 0 \).
Упражнение 330:
Объясни записи в рамках на полях. <br>В таблице показаны значения множителей \( a \) и \( b \), и произведения \( a \cdot b \). Нужно заполнить пропущенные значения.
1)
Заполните пропущенные значения в таблице.
Ответ
Развернутое решение:
Первый столбец: Дано \( a = 24 \) и \( b = 5 \). Находим произведение \( a \cdot b = 24 \cdot 5 \). Для удобства можно представить \( 24 \cdot 5 = (20 + 4) \cdot 5 = 20 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 100 + 20 = 120 \). Пропущенное значение: 120.
Второй столбец: Дано \( a = 25 \) и \( b = 1 \). Находим произведение \( a \cdot b = 25 \cdot 1 \). Используем свойство умножения на 1: \( c \cdot 1 = c \). Значит, \( 25 \cdot 1 = 25 \). Пропущенное значение: 25.
Третий столбец: Дано \( a = 52 \) и \( b = 0 \). Находим произведение \( a \cdot b = 52 \cdot 0 \). Используем свойство умножения на 0: \( b \cdot 0 = 0 \). Значит, \( 52 \cdot 0 = 0 \). Пропущенное значение: 0.
Четвертый столбец: Дано \( b = 3 \) и \( a \cdot b = 54 \). Нам нужно найти \( a \). Мы знаем, что \( a = (a \cdot b) : b \). Значит, \( a = 54 : 3 \). Разделим \( 54 \) на \( 3 \): \( 54 : 3 = (30 + 24) : 3 = 30 : 3 + 24 : 3 = 10 + 8 = 18 \). Пропущенное значение: 18.
Пятый столбец: Дано \( a = 12 \) и \( a \cdot b = 96 \). Нам нужно найти \( b \). Мы знаем, что \( b = (a \cdot b) : a \). Значит, \( b = 96 : 12 \). Чтобы найти \( b \), можно вспомнить таблицу умножения или подобрать число: \( 12 \cdot 8 = 96 \). Пропущенное значение: 8.
Шестой столбец: Дано \( a = 21 \) и \( a \cdot b = 63 \). Нам нужно найти \( b \). Мы знаем, что \( b = (a \cdot b) : a \). Значит, \( b = 63 : 21 \). Чтобы найти \( b \), можно подобрать число: \( 21 \cdot 3 = 63 \). Пропущенное значение: 3.
Ответ: Заполненная таблица:
\( a \)
24
25
52
18
12
21
\( b \)
5
1
0
3
8
3
\( a \cdot b \)
120
25
0
54
96
63
Упражнение 331:
Запиши произведение чисел \( a \) и \( b \) и вычисли его значение при \( a = 72 \) и \( b = 3 \).
1)
Запишите произведение чисел \( a \) и \( b \) и вычислите его значение при \( a = 72 \) и \( b = 3 \).
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Запись произведения. Произведение чисел \( a \) и \( b \) записывается как \( a \cdot b \).
Шаг 2: Подстановка значений. По условию задачи, \( a = 72 \) и \( b = 3 \). Подставим эти значения в выражение: \( 72 \cdot 3 \).
Шаг 3: Вычисление. Вычислим произведение \( 72 \cdot 3 \). Мы можем представить \( 72 \) как сумму \( 70 + 2 \) и применить распределительное свойство умножения: \( 72 \cdot 3 = (70 + 2) \cdot 3 = 70 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \).
Ответ: Произведение чисел \( a \) и \( b \) равно \( a \cdot b \). Его значение при \( a = 72 \) и \( b = 3 \) равно 216.
Упражнение 332:
Составь разные задачи по выражению \( 16 \cdot 4 \).
1)
Составьте разные задачи по выражению \( 16 \cdot 4 \).
Ответ
Развернутое решение:
Задача 1 (Нахождение общей стоимости): Условие: Одна тетрадь стоит 16 рублей. Сколько стоят 4 такие тетради? Решение: Чтобы найти общую стоимость, нужно стоимость одной тетради умножить на их количество: \( 16 \cdot 4 \). \( 16 \cdot 4 = (10 + 6) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 40 + 24 = 64 \) (рубля). Ответ: 4 тетради стоят 64 рубля.
Задача 2 (Нахождение общего количества предметов): Условие: Ученик наклеил марки на 4 страницы альбома, по 16 марок на каждую страницу. Сколько всего марок наклеил ученик? Решение: Чтобы найти общее количество марок, нужно количество марок на одной странице умножить на количество страниц: \( 16 \cdot 4 \). \( 16 \cdot 4 = 64 \) (марок). Ответ: Ученик наклеил 64 марки.
Задача 3 (Сравнение расстояний): Условие: Велосипедист проехал 16 км. Это в 4 раза меньше, чем проехал автомобилист. Сколько километров проехал автомобилист? Решение: Чтобы найти расстояние, которое проехал автомобилист, нужно расстояние велосипедиста увеличить в 4 раза: \( 16 \cdot 4 \). \( 16 \cdot 4 = 64 \) (км). Ответ: Автомобилист проехал 64 километра.
Упражнение 333:
На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько метров плёнки пойдёт на 3 таких парника? Составь и реши задачи, обратные данной.
1)
На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько метров плёнки пойдёт на 3 таких парника?
Ответ
Развернутое решение прямой задачи:
Шаг 1: Найти расход плёнки на один парник. Мы знаем, что на 9 парников уходит 45 м плёнки. Чтобы найти, сколько плёнки нужно на 1 парник, разделим общее количество плёнки на количество парников: \( 45 : 9 = 5 \) (м) — плёнки на 1 парник.
Шаг 2: Найти расход плёнки на 3 парника. Теперь, зная расход на один парник (5 м), умножим его на количество парников (3): \( 5 \cdot 3 = 15 \) (м) — плёнки на 3 парника.
Ответ: На 3 таких парника пойдёт 15 метров плёнки.
Развернутое решение обратных задач:
Обратная Задача 1 (Найти количество плёнки): Условие: На один парник уходит 5 м плёнки. Сколько плёнки пойдёт на 9 парников? (Используем данные из условия задачи) Решение: Чтобы найти общее количество плёнки, нужно расход на один парник умножить на количество парников: \( 5 \cdot 9 = 45 \) (м). Ответ: На 9 парников пойдёт 45 м плёнки.
Обратная Задача 2 (Найти количество парников): Условие: На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько таких парников можно оклеить 15 м плёнки? (Используем ответ прямой задачи) Решение: Сначала найдём расход плёнки на один парник: \( 45 : 9 = 5 \) м. Затем разделим имеющееся количество плёнки (15 м) на расход на один парник (5 м): \( 15 : 5 = 3 \) (парника). Ответ: 15 м плёнки пойдёт на 3 парника.
Упражнение 334:
Туристы в первый день прошли 16 км, что составило восьмую часть их маршрута. Сколько километров им осталось пройти?
1)
Туристы в первый день прошли 16 км, что составило восьмую часть их маршрута. Сколько километров им осталось пройти?
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Определить общую длину маршрута. Известно, что 16 км — это восьмая часть, то есть \( \frac{1}{8} \) всего маршрута. Чтобы найти весь маршрут, нужно известную часть (16 км) умножить на количество частей (8): \( 16 \cdot 8 \). Вычисляем: \( 16 \cdot 8 = (10 + 6) \cdot 8 = 10 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 80 + 48 = 128 \) (км) — общая длина маршрута.
Шаг 2: Найти, сколько километров осталось пройти. Чтобы найти, сколько осталось пройти, нужно из общей длины маршрута (128 км) вычесть то, что уже пройдено (16 км): \( 128 - 16 \). Вычисляем: \( 128 - 16 = 112 \) (км) — осталось пройти туристам.
Начерти такой треугольник, дополни его до прямоугольника, найди площадь прямоугольника и каждого треугольника.
1)
Начертите такой треугольник, дополните его до прямоугольника, найдите площадь прямоугольника и каждого треугольника.
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Анализ рисунка и построение. На рисунке показан тупоугольный треугольник (выделен красным) на клетчатой бумаге. Определим размеры сторон, используя клетки. Будем считать, что сторона одной клетки равна 1 единице длины (ед.). Основание треугольника (горизонтальная сторона) равно 8 ед. Высота треугольника (проведённая к основанию или его продолжению) равна 8 ед.
Шаг 2: Дополнение до прямоугольника. Чтобы дополнить этот треугольник до прямоугольника, нужно провести линии от его вершин параллельно сторонам сетки так, чтобы они встретились. Получится прямоугольник, имеющий стороны: Ширина прямоугольника (длина основания треугольника): \( 8 \) ед. Длина прямоугольника (высота треугольника): \( 8 \) ед.
Шаг 3: Нахождение площади прямоугольника. Площадь прямоугольника \( S_{прямоугольника} \) равна произведению его сторон (длины на ширину): \( S_{прямоугольника} = длина \cdot ширина \). \( S_{прямоугольника} = 8 \cdot 8 = 64 \) (кв. ед.).
Шаг 4: Нахождение площади каждого треугольника. После построения прямоугольника, исходный треугольник (обозначим его \( T_1 \)) и прямоугольник делятся на 4 треугольника: исходный \( T_1 \) и три прямоугольных треугольника (обозначим их \( T_2, T_3, T_4 \)), которые заполняют оставшуюся часть прямоугольника. Однако, в данном случае, исходный тупоугольный треугольник (красный) занимает ровно половину прямоугольника, построенного на его основании (8 ед.) и высоте (8 ед.), поскольку его площадь равна \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \). Площадь исходного (красного) треугольника: \( S_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 \) (кв. ед.). Площадь оставшейся части: \( S_{остаток} = S_{прямоугольника} - S_{T_1} = 64 - 32 = 32 \) (кв. ед.). Задача, скорее всего, подразумевает, что исходный треугольник и три других, на которые он делит прямоугольник, имеют площади. Если смотреть на рисунок, тупоугольный треугольник, как на картинке, делит прямоугольник \( 8 \cdot 8 \) на три треугольника: исходный (красный), и два других — прямоугольных (слева и справа от красного), а не четыре, как я сначала подумал, анализируя общую формулу. На самом деле, наш треугольник — это половина прямоугольника, который имеет те же основание и высоту. Таким образом, он разделяет прямоугольник на два треугольника: сам себя (\( T_1 \)) и оставшийся пятиугольник, который можно разбить на другие треугольники. Однако, проще всего: Площадь красного треугольника: \( S_{T_1} = 32 \) (кв. ед.). Площадь «другого» треугольника (который вместе с \( T_1 \) составляет прямоугольник): \( S_{другого} = S_{прямоугольника} - S_{T_1} = 64 - 32 = 32 \) (кв. ед.). (Обратите внимание: Исходный треугольник \( T_1 \) и второй треугольник, который его дополняет, в данном случае равны по площади!)
Ответ:
Площадь прямоугольника (со сторонами 8 ед. и 8 ед.) равна 64 кв. ед.
Площадь исходного треугольника равна 32 кв. ед.
Площадь второго треугольника, который дополняет исходный до прямоугольника, также равна 32 кв. ед.
При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
\( c \cdot 1 = c \)
Свойство умножения на 0
При умножении любого числа на ноль получается ноль.
\( b \cdot 0 = 0 \)
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные результаты. (В решении используется для проверки равенств)
\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
Умножение и деление многозначных чисел
Для умножения и деления многозначных чисел используют письменные приемы (столбиком) или устные приемы, основанные на знании таблицы умножения и свойств арифметических действий.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
