ГДЗ: § 18 / Математическое ожидание / Вероятность и статистика 10 класс

Математическим ожиданием дискретной случайной величины \( X \), принимающей значения \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) с вероятностями \( p_1, p_2, \ldots, p_n \), называется число \( E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n \) — сумма произведений всех значений на их вероятности.

\( E(X) \) — от первой буквы английского слова expectation («ожидание»). Его называют также средним значением случайной величины.

\( E(X) = (-1) \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}75 = 0{,}5 \).

Например, значения 0 и 2 с вероятностями 0,5 и 0,5: \( E = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 1 \). Или значения 0, 1, 2 с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25 (число орлов при двух бросках монеты). Подойдёт и «вырожденная» величина, равная 1 с вероятностью 1.

Если расположить на числовой прямой грузики с массами \( p_1, \ldots, p_n \) в точках \( x_1, \ldots, x_n \), то центр масс этой системы имеет координату \( \dfrac{x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n}{p_1 + \ldots + p_n} = x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n \) (сумма масс равна 1). Значит, математическое ожидание — это координата точки, в которой нужно поставить опору, чтобы «прямая с грузиками» была в равновесии.

Если провести много испытаний и посчитать среднее арифметическое полученных значений случайной величины, оно окажется близко к её математическому ожиданию: частоты значений при большом числе опытов приближаются к вероятностям, а среднее арифметическое, вычисленное через частоты, — к сумме \( x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n \). Математическое ожидание — это «теоретическое среднее», предсказываемое законом распределения без проведения опытов.

Закон распределения симметричен относительно точки \( x_0 \), если все значения величины разбиваются на пары, симметричные относительно \( x_0 \) (\( x_1 - x_0 = -(x_n - x_0) \) и т. д.), причём вероятности симметричных значений равны (\( p_1 = p_n \), \( p_2 = p_{n-1} \), …). Математическое ожидание такого распределения равно центру симметрии \( x_0 \), даже если само \( x_0 \) не является значением величины.

Самой константе: \( E(a) = a \). Константу можно считать случайной величиной с единственным значением \( a \), вероятность которого равна 1.

По свойству 2 \( E(3X) = 3 \cdot E(X) = 3 \cdot 6 = 18 \).

Сумме их математических ожиданий: \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \) — для любых случайных величин, независимость не требуется.

Для независимых случайных величин — таких, что независимы любые события вида \( \{X = x_i\} \) и \( \{Y = y_j\} \). Например, для чисел на двух разных кубиках. Для зависимых величин равенство может нарушаться.

\( E(X) = Np \), где \( N \) — число испытаний Бернулли, \( p \) — вероятность успеха. Доказывается методом индикаторов: \( X = X_1 + \ldots + X_N \), \( E(X_i) = p \).

\( E = Np = 3 \cdot \dfrac12 = 1{,}5 \).

\( E = 3 \cdot \dfrac16 = 0{,}5 \).

Вероятность попадания \( p = 0{,}8 \), \( N = 5 \): \( E = 5 \cdot 0{,}8 = 4 \) мишени.

\( E(X) = \dfrac{1}{p} \), где \( p \) — вероятность успеха: первого успеха ждут в среднем \( \dfrac1p \) испытаний.

Успех — чётное число, \( p = \dfrac36 = \dfrac12 \). \( E = \dfrac{1}{p} = 2 \) испытания.

\( p = 0{,}4 \), \( E = \dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5 \): в среднем сдача происходит с 2,5-й попытки — то есть примерно со второй-третьей.