Математическое ожидание
Математическим ожиданием дискретной случайной величины \( X \) со значениями \( x_1, \ldots, x_n \) и вероятностями \( p_1, \ldots, p_n \) называется число \( E(X) \) — сумма произведений значений на их вероятности. Это то значение, которое в среднем ожидается при многократных испытаниях: среднее арифметическое большого числа наблюдений величины близко к \( E(X) \); \( E \) — от английского expectation. Математическое ожидание называют также средним значением; в ЭТ его считает функция СУММПРОИЗВ(диапазон значений; диапазон вероятностей). Примеры: кубик — \( E(X) = 3{,}5 \); сумма на двух кубиках — 7; индикатор события с \( P(A) = p \) — \( E(I) = p \); выигрыш в лотерее (0; 1000; 10 000; 1 000 000 с вероятностями 0,98899; 0,01; 0,001; 0,00001) — 30 р. при цене билета 50 р. Для величин с бесконечным множеством значений математическое ожидание может не существовать (значения \( 2^k \) с вероятностями \( 2^{-k} \)).
\( E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n \)
Физический смысл: центр масс
Если в точках \( x_1, \ldots, x_n \) числовой прямой поместить грузики с массами \( p_1, \ldots, p_n \) (суммарная масса 1), то центр масс этой системы окажется в точке \( E(X) \). Отсюда свойство симметрии: если распределение симметрично относительно точки \( x_0 \) (значения разбиваются на пары, симметричные относительно \( x_0 \), с равными вероятностями), то \( E(X) = x_0 \), причём сама точка \( x_0 \) не обязана быть значением величины (значения 1, 2, 4, 6, 8, 9 с вероятностями 0,012; 0,152; 0,336; 0,336; 0,152; 0,012 — \( E = 5 \)).
\( E(X) - x_0 = (x_1 - x_0)p_1 + \ldots + (x_n - x_0)p_n = 0 \) для симметричного распределения
Свойства математического ожидания
1) \( E(a) = a \) — математическое ожидание константы равно ей самой. 2) \( E(aX) = a \cdot E(X) \) — постоянный множитель выносится за знак математического ожидания. 3) \( E(aX + b) = a \cdot E(X) + b \). 4) \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \) для любых случайных величин — математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. 5) \( E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \) только для независимых величин (\( X \) и \( Y \) независимы, если независимы любые события \( \{X = x_i\} \) и \( \{Y = y_j\} \)). Примеры для двух кубиков: \( E(S) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7 \); \( E(R) = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25 \); \( E(W) = \frac{161}{36} \approx 4{,}47 \) по определению; \( E(V) = E(S) - E(W) = \frac{91}{36} \approx 2{,}53 \).
\( E(X + Y) = E(X) + E(Y); \qquad E(XY) = E(X)E(Y) \text{ при независимости} \)
Метод индикаторов и математическое ожидание биномиального распределения
Чтобы найти \( E(X) \), величину представляют суммой индикаторов подходящих событий \( X = X_1 + \ldots + X_N \); тогда \( E(X) = P(A_1) + \ldots + P(A_N) \) — закон распределения \( X \) при этом не нужен. Два стрелка с вероятностями попадания \( p_1, p_2 \): \( E(\text{число попаданий}) = p_1 + p_2 \). Число успехов в \( N \) испытаниях Бернулли — сумма \( N \) индикаторов с \( E(X_i) = p \), поэтому \( E(X) = Np \): 250 бросков монеты — 125 орлов; 300 бросков кубика — 50 единиц; 47 бросков с \( p = 0{,}6 \) — 28,2 попадания. В отличие от наиболее вероятного числа успехов, \( Np \) может быть дробным.
\( E(\mathrm{Bin}(N, p)) = Np \)
Математическое ожидание геометрического распределения
Для \( X \sim \mathrm{Geom}(p) \) сумма \( E(X) = 1 \cdot p + 2 \cdot qp + 3 \cdot q^2 p + \ldots \) вычисляется перегруппировкой слагаемых в бесконечную треугольную таблицу: суммы строк \( \frac{p}{1-q}, \frac{qp}{1-q}, \frac{q^2 p}{1-q}, \ldots \) дают \( 1 + q + q^2 + \ldots = \frac{1}{1-q} = \frac1p \) (для положительных слагаемых перестановка законна). Итак, если успех — один из \( n \) равновозможных исходов, ждать его придётся в среднем \( n \) испытаний: орёл — 2 броска, шестёрка — 6 бросков, задача с \( p = 0{,}2 \) — 5 задач.
\( E(\mathrm{Geom}(p)) = \dfrac{1}{p} \)
