ГДЗ: § 19 / Дисперсия и стандартное отклонение / Вероятность и статистика 10 класс

Дисперсией случайной величины \( X \) называется математическое ожидание квадрата отклонения \( X \) от её математического ожидания: \( D(X) = E\big(X - E(X)\big)^2 \).

\( D(X) \) — от латинского dispersio («рассеяние»).

Сначала найти \( m = E(X) = x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n \), затем сложить квадраты отклонений значений от \( m \), взятые с весами-вероятностями: \( D(X) = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \ldots + (x_n - m)^2 p_n \). Удобнее формула \( D(X) = E(X^2) - E^2(X) \): \( E(X^2) = x_1^2 p_1 + \ldots + x_n^2 p_n \).

\( E(X) = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0 \); отклонения от нуля равны \( \pm 1 \), их квадраты равны 1: \( D(X) = 1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 1 \).

\( D(X) = E(X^2) - E^2(X) \): дисперсия равна разности математического ожидания квадрата величины и квадрата её математического ожидания. Обычно \( E(X^2) \) считать проще, чем \( E(X - E(X))^2 \), особенно при целых значениях \( X \).

Не может: дисперсия — математическое ожидание квадрата, все слагаемые \( (x_i - m)^2 p_i \) неотрицательны. Дисперсия константы равна 0 (и только у константы дисперсия нулевая): все её значения совпадают с математическим ожиданием.

По свойству 3 \( D(3X) = 3^2 \cdot D(X) = 9 \cdot 6 = 54 \).

Для независимых случайных величин \( X \) и \( Y \). В отличие от математического ожидания, для зависимых величин дисперсия суммы, вообще говоря, не равна сумме дисперсий: например, \( D(X + X) = D(2X) = 4D(X) \ne 2D(X) \).

Стандартное (среднеквадратичное) отклонение случайной величины — корень из её дисперсии: \( \sigma = \sqrt{D(X)} \). Оно показывает, насколько в среднем значения величины отклоняются от математического ожидания, и измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Дисперсия — в квадратных метрах (это математическое ожидание квадрата отклонения), стандартное отклонение — в метрах.

\( P\big(|X - E(X)| \ge 3\sigma\big) \le \dfrac19 \), или, для противоположного события, \( P\big(|X - E(X)| < 3\sigma\big) \ge \dfrac89 \): не меньше 8 шансов из 9, что значение случайной величины окажется в интервале \( (E(X) - 3\sigma;\ E(X) + 3\sigma) \).

\( D(X) = Npq \), где \( N \) — число испытаний, \( p \) — вероятность успеха, \( q = 1 - p \). Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{Npq} \).

\( D = 5 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac12 = 1{,}25 \); \( \sigma = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12 \).

\( D = 5 \cdot \dfrac16 \cdot \dfrac56 = \dfrac{25}{36} \approx 0{,}694 \); \( \sigma = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83 \).

\( D(X) = \dfrac{q}{p^2} \), где \( p \) — вероятность успеха, \( q = 1 - p \); стандартное отклонение \( \sigma = \dfrac{\sqrt q}{p} \).

\( p = q = \dfrac12 \): \( D = \dfrac{q}{p^2} = \dfrac{1/2}{1/4} = 2 \) (как для монеты).

\( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \). В среднем сдача с \( \dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5 \)-й попытки. Дисперсия \( \dfrac{0{,}6}{0{,}16} = 3{,}75 \), \( \sigma \approx 1{,}94 \). По правилу «трёх сигм» правая граница \( 2{,}5 + 3 \cdot 1{,}94 \approx 8{,}3 \): в худшем случае стоит быть готовым к 8–9 попыткам.

Число исходов с \( k \) угаданными номерами: =ЧИСЛКОМБ(6;A1)*ЧИСЛКОМБ(43;6-A1) — 6 096 454; 5 775 588; 1 851 150; 246 820; 13 545; 258; 1; сумма B8 = 13 983 816 (\( C_{49}^6 \)). Вероятности =B1/B$8: 0,436; 0,413; 0,132; 0,01765; 0,00097; 0,0000185; 0,0000000715 (сумма 1). Призы D1:D7 — 0; 0; 0; 3; 50; 2500; 10 000.

Математическое ожидание выигрыша D8 =СУММПРОИЗВ(C1:C7;D1:D7) ≈ 0,148 р., то есть около 15 коп. при цене билета 30 коп. — в среднем игрок терял половину стоимости билета. Квадраты призов E1:E7 (=D1^2): 0; 0; 0; 9; 2500; 6 250 000; 100 000 000; \( E(X^2) \) в E8 =СУММПРОИЗВ(C1:C7;E1:E7) ≈ 125,04. Дисперсия E9 =E8-D8^2 ≈ 125,02 р², стандартное отклонение E10 =КОРЕНЬ(E9) ≈ 11,18 р. — в 75 раз больше среднего выигрыша: почти все билеты не выигрывают ничего, а редкие крупные призы создают огромный разброс.

В B1 — значение \( p \) (например, 0,3). В A3:A103 — \( k \) от 0 до 100, в B3 — =БИНОМРАСП(A3;100;$B$1;0), протянуть. Математическое ожидание: =СУММПРОИЗВ(A3:A103;B3:B103) = 30 = \( Np \). Для дисперсии в C3 — =A3^2, тогда \( E(X^2) \) = =СУММПРОИЗВ(C3:C103;B3:B103) = 921, и \( D = 921 - 30^2 = 21 = Npq = 100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \); \( \sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58 \). Меняя \( p \), убеждаемся, что равенства \( E = Np \), \( D = Npq \) выполняются точно, а дисперсия наибольшая при \( p = 0{,}5 \) (\( D = 25 \)).

Интервал «трёх сигм» при \( p = 0{,}3 \): \( (30 - 13{,}7;\ 30 + 13{,}7) = (16{,}3;\ 43{,}7) \). Сумма вероятностей значений от 17 до 43 (=СУММ(B20:B46)) ≈ 0,997 — намного больше гарантированных \( \frac89 \).

В B1 — \( p \) (например, 0,2). В A3:A202 — \( k \) от 1 до 200, в B3 — =(1-$B$1)^(A3-1)*$B$1. Сумма вероятностей =СУММ(B3:B202) ≈ 1 (точнее, \( 1 - 0{,}8^{200} \)). Математическое ожидание =СУММПРОИЗВ(A3:A202;B3:B202) ≈ 5,000 = \( \frac1p \); \( E(X^2) \) через столбец квадратов ≈ 45,0, дисперсия ≈ \( 45 - 25 = 20 = \frac{q}{p^2} = \frac{0{,}8}{0{,}04} \); \( \sigma \approx 4{,}47 \).

При малых \( p \) (например, 0,01) таблица из 200 строк «обрезает» распределение: вероятность того, что успех наступит позже 200-го испытания, равна \( 0{,}99^{200} \approx 0{,}134 \), и посчитанные суммы заметно меньше теоретических \( \frac1p = 100 \) и \( \frac{q}{p^2} = 9900 \). Чтобы совпадение улучшилось, нужно удлинять таблицу (при \( p = 0{,}01 \) — до нескольких тысяч строк).