Дисперсия случайной величины
Распределения с одинаковым математическим ожиданием могут быть устроены совершенно по-разному (рис. 105), поэтому нужна мера разброса. Размах в теории вероятностей почти не используют: крайние значения имеют малую вероятность, а у геометрического распределения наибольшего значения нет вовсе. Дисперсией случайной величины \( X \) называется математическое ожидание квадрата отклонения \( X \) от её математического ожидания: \( D(X) = E(X - E(X))^2 \) (лат. dispersio — «рассеяние»). По закону распределения при \( m = E(X) \): \( D(X) = (x_1 - m)^2 p_1 + \ldots + (x_n - m)^2 p_n \) — каждый квадрат отклонения входит со своим весом-вероятностью (в отличие от выборочной дисперсии \( S^2 \) в статистике). Для кубика \( D(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}917 \).
\( D(X) = E\big(X - E(X)\big)^2 = \sum_{i} (x_i - m)^2 p_i \)
Свойства дисперсии
1) \( D(X) = E(X^2) - E^2(X) \) — дисперсия равна разности математического ожидания квадрата величины и квадрата её математического ожидания; обычно \( E(X^2) \) считать проще (для кубика \( E(X^2) = \frac{91}{6} \), \( D = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \)). 2) \( D(X) \ge 0 \), причём \( D(X) = 0 \) только для константы; отрицательная дисперсия — признак ошибки. 3) \( D(aX) = a^2 D(X) \) — постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате. 4) \( D(aX + b) = a^2 D(X) \) — сдвиг на константу дисперсии не меняет. 5) Для независимых \( X, Y \): \( D(X + Y) = D(X) + D(Y) \) (доказывается через свойство 1 и \( E(XY) = E(X)E(Y) \)); на этом свойстве основан закон больших чисел. Примеры: сумма на двух кубиках — \( D(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}8 \); индикатор события с вероятностью \( p \) — \( D(I) = p - p^2 = p(1 - p) \); два стрелка — \( D(X) = p_1(1 - p_1) + p_2(1 - p_2) \).
\( D(X) = E(X^2) - E^2(X); \quad D(aX + b) = a^2 D(X); \quad D(X + Y) = D(X) + D(Y) \text{ при независимости} \)
Стандартное отклонение и неравенство «трёх сигм»
Дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому вводят стандартное (среднеквадратичное) отклонение \( \sigma = \sqrt{D(X)} \) — в тех же единицах, что и \( X \): в среднем значения \( X \) отклоняются от \( E(X) \) примерно на \( \sigma \). Неравенство «трёх сигм»: для любой случайной величины \( P(|X - E(X)| \ge 3\sigma) \le \frac19 \), то есть \( P(|X - E(X)| < 3\sigma) \ge \frac89 \) — интервал \( (E(X) - 3\sigma;\ E(X) + 3\sigma) \) включает почти все вероятные значения (часто — вообще все). Кубик: \( \sigma \approx 1{,}7 \), интервал \( (3{,}5 - 5{,}1;\ 3{,}5 + 5{,}1) \); сумма на двух кубиках: \( \sigma \approx 2{,}4 \); два стрелка с \( p_1 = 0{,}99 \), \( p_2 = 0{,}01 \): \( \sigma \approx 0{,}14 \), в интервал \( (0{,}58;\ 1{,}42) \) попадает только значение 1, но его вероятность 0,98 \( > \frac89 \).
\( \sigma = \sqrt{D(X)}, \qquad P\big(|X - E(X)| \ge 3\sigma\big) \le \dfrac19 \)
Дисперсия биномиального распределения
Методом индикаторов: \( X = X_1 + \ldots + X_N \), \( D(X_i) = p(1-p) = pq \), индикаторы независимы, поэтому \( D(X) = Npq \). 25 бросков монеты: \( E = 12{,}5 \), \( D = 6{,}25 \), \( \sigma = 2{,}5 \), интервал «трёх сигм» (5; 20) содержит 54 % возможных значений; 250 бросков — \( \sigma \approx 7{,}9 \), интервал (101,3; 148,7) — 19 % значений; 2500 бросков — \( \sigma = 25 \), интервал (1175; 1325) — 6 %. С ростом \( N \) доля вероятных значений уменьшается: диапазон растёт как \( N \), а интервал «трёх сигм» — как \( \sqrt N \). При \( p \ne q \) дисперсия меньше, чем при \( p = q \): \( pq = p(1-p) \) — квадратный трёхчлен с максимумом \( \frac14 \) при \( p = 0{,}5 \) и нулями при \( p = 0 \) и \( p = 1 \) (2500 бросков кубика, \( p = \frac16 \): \( D \approx 347{,}2 \), \( \sigma \approx 18{,}6 \)).
\( D(\mathrm{Bin}(N, p)) = Npq, \qquad \sigma = \sqrt{Npq} \)
Дисперсия геометрического распределения
Для \( X \sim \mathrm{Geom}(p) \) сумму \( E(X^2) = 1^2 p + 2^2 qp + 3^2 q^2 p + \ldots \) дважды перегруппировывают в треугольные таблицы: \( E(X^2) = 1 + 3q + 5q^2 + 7q^3 + \ldots = \frac{1}{p} + \frac{2q}{p(1-q)} = \frac{1 + q}{p^2} \), откуда \( D(X) = \frac{1+q}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2} \). Монета: \( D = 2 \), \( \sigma \approx 1{,}41 \), интервал «трёх сигм» — от 1 до 6 испытаний; кубик до шестёрки: \( D = 30 \), \( \sigma \approx 5{,}48 \), интервал от 1 до 22. Особенность геометрического распределения — большая дисперсия, тем большая, чем меньше \( p \); правая граница интервала \( \frac1p + \frac{3\sqrt q}{p} \): при \( p = 0{,}2 \) стоит запасти не 5, а \( \frac{1 + 3\sqrt{0{,}8}}{0{,}2} \approx 18 \) патронов.
\( D(\mathrm{Geom}(p)) = \dfrac{q}{p^2}, \qquad \sigma = \dfrac{\sqrt q}{p} \)
