Числовая величина, значение которой однозначно определяется исходом случайного эксперимента: пока опыт не проведён, значение неизвестно, а когда исход известен, значение вычисляется точно. Обозначают случайные величины заглавными латинскими буквами.
2.
Приведите примеры случайных величин.
Ответ
Число очков на кубике; сумма, произведение, наибольшее и наименьшее из чисел на двух кубиках; число орлов при 10 бросках монеты и длина самой длинной серии орлов; число успехов в испытаниях Бернулли; номер испытания, на котором наступил первый успех; число верных ответов в тесте; напряжение в сети; вес новорождённого; продолжительность телефонного разговора.
3.
Какая случайная величина называется индикатором случайного события?
Ответ
Случайная величина \( I \), принимающая только значения 0 и 1, причём \( I = 1 \), если событие \( A \) произошло, и \( I = 0 \), если не произошло. Её также называют бинарной случайной величиной. Например, \( I = 1 \), если на двух кубиках выпали одинаковые числа.
Пункт 2. Случайные величины вокруг нас
1.
Приведите примеры случайных величин из реальной жизни.
Ответ
Напряжение в электросети в данный момент; вес новорождённого; цена литра бензина на случайно выбранной заправке; продолжительность телефонного разговора; температура воздуха в полдень; число покупателей в магазине за час; время ожидания автобуса; количество голов в футбольном матче; курс валюты на завтра; срок службы лампочки.
2.
Вы подошли к автобусной остановке. Приведите примеры случайных величин, которые вы сможете наблюдать.
Ответ
Время ожидания нужного автобуса; номер маршрута первого подошедшего автобуса; число автобусов, подошедших раньше нужного; число людей на остановке; число пассажиров в подъехавшем автобусе и число свободных мест; температура в салоне; время в пути до нужной остановки; индикатор события «первым подойдёт нужный автобус».
3.
В вашем классе завтра будет проводиться контрольная работа по вероятности и статистике. Приведите примеры случайных величин, связанных с этим случайным опытом.
Ответ
Число присутствующих учеников; число решённых вами задач; ваша отметка; время, потраченное на работу; число пятёрок (двоек) в классе; средний балл класса; номер первой задачи, в которой вы ошиблись; индикатор события «все ученики справились с первой задачей».
Пункт 3. Дискретные и непрерывные величины
1.
Чем дискретные величины отличаются от непрерывных?
Ответ
У дискретной величины множество возможных значений состоит из отдельно стоящих чисел (обычно конечного набора целых чисел, например 0, 1, …, 10), и каждое значение принимается с положительной вероятностью. У непрерывной величины множество значений — промежуток (или несколько промежутков) числовой прямой; значений бесконечно много, и каждое конкретное значение она принимает с вероятностью 0.
2.
Приведите пример дискретной случайной величины.
Ответ
Число очков на кубике (значения 1–6); сумма очков на двух кубиках (2–12); число орлов при 10 бросках монеты (0–10); число бракованных деталей в партии; число пассажиров в автобусе; номер броска, на котором впервые выпал орёл (1, 2, 3, …).
3.
Приведите пример непрерывной случайной величины.
Ответ
Вес новорождённого; рост случайно выбранного человека; напряжение в сети; время ожидания автобуса; расстояние от случайно брошенной в круг точки до его центра; температура воздуха; время пробега стометровки.
Что применять при решении
Случайная величина
Случайной величиной называется числовая величина, значение которой однозначно определяется исходом случайного эксперимента. Зная исход, значение величины можно вычислить точно; каждому исходу соответствует одно значение. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами \( X, Y, S, T \). С одним опытом связано много величин: для двух кубиков — \( X \) и \( Y \) (числа на кубиках), \( S = X + Y \), \( R = X \cdot Y \), \( W \) — наибольшее, \( V \) — наименьшее из чисел, причём \( S = W + V \), \( R = W \cdot V \). Для 10 бросков монеты: \( X \) — число орлов, \( Y \) — число решек (\( X + Y = 10 \)), \( L \) — длина самой длинной серии орлов (\( L \le X \)).
Индикатор случайного события
Случайная величина \( I \) называется индикатором события \( A \), если она принимает только два значения: \( I = 1 \), если \( A \) произошло, и \( I = 0 \), если не произошло. По значению индикатора можно узнать, наступило ли событие. Индикатор называют также бинарной случайной величиной. Пример: \( I = 1 \), если на кубиках выпали одинаковые числа, и \( I = 0 \) иначе.
\( I = \begin{cases} 1, & \text{если } A \text{ произошло}; \\ 0, & \text{если } A \text{ не произошло} \end{cases} \)
Случайные величины вокруг нас
Напряжение в бытовой сети (218, 220, 216, … В), вес новорождённого (обычно 2,5–4,5 кг), цена литра бензина на заправке, продолжительность телефонного разговора — всё это случайные величины, измеряемые в вольтах, килограммах, рублях, секундах. Точный набор их значений заранее указать нельзя, но можно ограничить диапазон (0–380 В, 0–5 кг). По наблюдениям величины строят таблицу частот и находят числовые показатели (среднее, медиана, дисперсия); в теории вероятностей те же характеристики вычисляют без наблюдений, исходя из модели опыта.
Дискретные и непрерывные величины
Случайная величина называется дискретной, если множество её возможных значений состоит из отдельно отстоящих друг от друга чисел, не сливающихся в интервалы (чаще всего — конечное множество целых чисел, например \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)); непрерывной — если множество значений есть промежуток (или несколько промежутков) числовой прямой. Все величины в опыте с кубиками дискретны: \( S \) принимает значения от 2 до 12, \( R \) — целые от 1 до 36, но не все (7 получить нельзя). Вес малыша, расстояние от случайной точки круга до центра — непрерывные; каждое конкретное значение непрерывная величина принимает с вероятностью 0. Цена бензина (шаг 1 копейка) может считаться и дискретной, и непрерывной — выбор модели зависит от задачи. Есть величины смешанного типа: длительность звонка — непрерывная, но значение 0 (сброшенный звонок) имеет ненулевую вероятность. В этой главе изучаются только дискретные величины.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
