На борту воздушного судна, вместимость которого составляет 150 мест, пассажирам предлагается 2 вида обедов: с курицей и с рыбой. Каждый пассажир может с равной вероятностью выбрать курицу или рыбу, поэтому на борт загрузили 75 обедов с курицей и рыбой. Случайная величина \( X \) равна количеству недовольных пассажиров. Какие значения она может принимать? Какое из этих значений самое вероятное?
Укажите значения X и самое вероятное из них.
Ответ
Пусть \( C \) — число пассажиров, выбравших курицу (\( C \) — число успехов в 150 испытаниях Бернулли с \( p = \frac12 \)). Недовольных \( X = |C - 75| \): если курицу выбрали 80 человек, пятерым её не хватит; если 70 — пятерым не хватит рыбы. Значит, \( X \) принимает целые значения от 0 (ровно 75 на 75) до 75 (все выбрали одно и то же).
Самое вероятное значение \( C \) — 75 (\( Np - q = 74{,}5 \)), ему отвечает \( X = 0 \) с вероятностью \( P_{150}(75) \approx 0{,}065 \); в ответах учебника указано именно 0. Однако значение \( X = 1 \) получается двумя способами (\( C = 74 \) и \( C = 76 \)), и его вероятность \( 2 P_{150}(74) \approx 2 \cdot 0{,}064 = 0{,}128 \) — вдвое больше. Далее \( P(X = 2) \approx 0{,}124 \), \( P(X = 3) \approx 0{,}116 \), и вероятности убывают. Так что для самой величины \( X \) наиболее вероятное значение — 1.
Ответ: \( X \) принимает значения от 0 до 75; наиболее вероятное число выбравших курицу — 75, то есть отсутствие недовольных (ответ учебника — 0); если сравнивать вероятности значений \( X \), самое вероятное значение — 1.
Что применять при решении
Случайная величина
Случайной величиной называется числовая величина, значение которой однозначно определяется исходом случайного эксперимента. Зная исход, значение величины можно вычислить точно; каждому исходу соответствует одно значение. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами \( X, Y, S, T \). С одним опытом связано много величин: для двух кубиков — \( X \) и \( Y \) (числа на кубиках), \( S = X + Y \), \( R = X \cdot Y \), \( W \) — наибольшее, \( V \) — наименьшее из чисел, причём \( S = W + V \), \( R = W \cdot V \). Для 10 бросков монеты: \( X \) — число орлов, \( Y \) — число решек (\( X + Y = 10 \)), \( L \) — длина самой длинной серии орлов (\( L \le X \)).
Индикатор случайного события
Случайная величина \( I \) называется индикатором события \( A \), если она принимает только два значения: \( I = 1 \), если \( A \) произошло, и \( I = 0 \), если не произошло. По значению индикатора можно узнать, наступило ли событие. Индикатор называют также бинарной случайной величиной. Пример: \( I = 1 \), если на кубиках выпали одинаковые числа, и \( I = 0 \) иначе.
\( I = \begin{cases} 1, & \text{если } A \text{ произошло}; \\ 0, & \text{если } A \text{ не произошло} \end{cases} \)
Случайные величины вокруг нас
Напряжение в бытовой сети (218, 220, 216, … В), вес новорождённого (обычно 2,5–4,5 кг), цена литра бензина на заправке, продолжительность телефонного разговора — всё это случайные величины, измеряемые в вольтах, килограммах, рублях, секундах. Точный набор их значений заранее указать нельзя, но можно ограничить диапазон (0–380 В, 0–5 кг). По наблюдениям величины строят таблицу частот и находят числовые показатели (среднее, медиана, дисперсия); в теории вероятностей те же характеристики вычисляют без наблюдений, исходя из модели опыта.
Дискретные и непрерывные величины
Случайная величина называется дискретной, если множество её возможных значений состоит из отдельно отстоящих друг от друга чисел, не сливающихся в интервалы (чаще всего — конечное множество целых чисел, например \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)); непрерывной — если множество значений есть промежуток (или несколько промежутков) числовой прямой. Все величины в опыте с кубиками дискретны: \( S \) принимает значения от 2 до 12, \( R \) — целые от 1 до 36, но не все (7 получить нельзя). Вес малыша, расстояние от случайной точки круга до центра — непрерывные; каждое конкретное значение непрерывная величина принимает с вероятностью 0. Цена бензина (шаг 1 копейка) может считаться и дискретной, и непрерывной — выбор модели зависит от задачи. Есть величины смешанного типа: длительность звонка — непрерывная, но значение 0 (сброшенный звонок) имеет ненулевую вероятность. В этой главе изучаются только дискретные величины.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
