ГДЗ: § 17 / Распределение вероятностей / Вероятность и статистика 10 класс

Закон распределения — это описание всех возможных значений случайной величины и вероятностей, с которыми она их принимает. Для дискретной величины его задают таблицей из двух строк: в первой — все возможные значения по возрастанию, во второй — их вероятности; графически — полигоном распределения. Для величин с бесконечным множеством значений (геометрическое распределение) таблицу заменяет формула для \( P(X = k) \).

Сумма всех вероятностей в законе распределения равна 1: \( p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1 \). Оно позволяет проверить найденное распределение и найти одну из вероятностей, не вычисляя её напрямую.

Если \( n \) значений имеют одинаковую вероятность \( p \), то \( np = 1 \). Для \( p = 0{,}3 \) получилось бы \( n = \frac{10}{3} \) — не целое: нельзя. Для \( p = 0{,}2 \) — можно, значений 5 (например, номер вытянутого из пяти билета). Для \( p = 0{,}25 \) — можно, значений 4 (например, номер масти вытянутой из колоды карты: 1, 2, 3, 4).

Биномиальным называется распределение случайной величины, равной числу успехов в серии из \( N \) испытаний Бернулли: значения \( 0, 1, \ldots, N \) с вероятностями \( P(X = k) = C_N^k p^k q^{N-k} \). Название связано с биномом Ньютона: эти вероятности — слагаемые разложения \( (p + q)^N = C_N^0 q^N + C_N^1 p q^{N-1} + \ldots + C_N^N p^N = 1 \).

От двух параметров: \( N \) — числа испытаний и \( p \) — вероятности успеха в одном испытании. Обозначение \( \mathrm{Bin}(N, p) \).

Число успехов в 15 испытаниях может быть любым целым от 0 до 15 — всего 16 значений.

\( P(X = 1) = C_5^1 \cdot \dfrac13 \cdot \left(\dfrac23\right)^4 = 5 \cdot \dfrac13 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{80}{243} \approx 0{,}329 \).

Геометрическим называется распределение числа испытаний Бернулли, проведённых до первого успеха (включая его): значения \( 1, 2, 3, \ldots \), вероятности \( P(X = k) = q^{k-1} p \). Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \( q \) — отсюда название; сумма прогрессии \( \dfrac{p}{1 - q} = 1 \).

От одного параметра \( p \) — вероятности успеха в одном испытании (\( q = 1 - p \)). Обозначение \( \mathrm{Geom}(p) \).

Бесконечно много: любое натуральное число 1, 2, 3, … Верхней границы для номера испытания с первым успехом нет, хотя большие значения очень маловероятны.

\( P(X = 1) = p = \dfrac13 \); \( P(X = 2) = qp = \dfrac23 \cdot \dfrac13 = \dfrac29 \).

Ход работы. В A1:A21 — значения \( k \) от 0 до 20; в H1:L1 — вероятности 0,1; 0,2; 0,5; 0,8; 0,9. В B1 — формула =БИНОМРАСП($A1;20;H$1;0), копируем вправо до F1 и вниз до 21-й строки (знаки «$» закрепляют столбец A и строку 1). Выделяем A1:F21 и строим точечную диаграмму с отрезками — пять полигонов на одном поле (рис. 100).

Наблюдения. При \( p = 0{,}5 \) распределение симметрично относительно \( k = 10 \), максимум \( \approx 0{,}176 \). При \( p = 0{,}1 \) и \( 0{,}2 \) «горб» сдвинут влево (максимум при \( k = 2 \) — 0,285 и при \( k = 4 \) — 0,218), при \( p = 0{,}8 \) и \( 0{,}9 \) — вправо (максимум при 16 и 18); распределения для \( p \) и \( 1 - p \) зеркально симметричны (столбцы B и F, C и E совпадают в обратном порядке). Вершина полигона всегда около \( Np \), а чем ближе \( p \) к 0 или 1, тем полигон уже и выше: разброс числа успехов меньше.

Ход работы. В A1:A20 — значения \( k \) от 1 до 20; в H1:L1 — вероятности 0,1; …; 0,5. В B1 — формула \( q^{k-1} p \): =(1-H$1)^($A1-1)*H$1, копируем на B1:F20 и строим точечную диаграмму (рис. 101).

Наблюдения. У всех пяти распределений максимум в точке \( k = 1 \) и равен \( p \); дальше вероятности убывают как геометрическая прогрессия со знаменателем \( 1 - p \). Чем больше \( p \), тем быстрее спад: при \( p = 0{,}5 \) уже \( P(10) \approx 0{,}001 \), а при \( p = 0{,}1 \) \( P(10) \approx 0{,}039 \) и «хвост» тянется далеко — первого успеха приходится ждать долго. Полигоны для разных \( p \) пересекаются: около \( k = 3 \)–4 маленькие \( p \) начинают давать большие вероятности, чем большие.

Исход тиража — сочетание 6 номеров из 49: в E1 =ЧИСЛКОМБ(49;6) = 13 983 816. Число угаданных \( X = k \) означает, что \( k \) из 6 выигрышных номеров вошли в зачёркнутую шестёрку, а остальные \( 6 - k \) взяты из 43 невыигрышных: в B1 формула =ЧИСЛКОМБ(6;A1)*ЧИСЛКОМБ(43;6-A1), в C1 — =B1/$E$1.

Приз получают при \( X \ge 3 \): в E2 =СУММ(C4:C7) = \( \dfrac{246\,820 + 13\,545 + 258 + 1}{13\,983\,816} \approx 0{,}0186 \) — примерно 1 шанс из 54. Угадать все 6 номеров — 1 шанс из 14 миллионов. Диаграмма распределения — быстро убывающий полигон с максимумом при \( X = 0 \).