Закон распределения вероятностей
Распределением вероятностей (законом распределения) случайной величины называется закон, который описывает все возможные значения величины и вероятности, с которыми она их принимает; он показывает, как вся вероятность, равная 1, распределена между значениями. Для дискретной величины с небольшим числом значений его задают таблицей из двух строк: значения по возрастанию и их вероятности. Графически распределение изображают полигоном распределения: точки \( (x_i;\ p_i) \) соединяют ломаной. Примеры: число на кубике — все вероятности \( \frac16 \); сумма на двух кубиках \( S \) — вероятности \( \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \ldots, \frac{6}{36}, \ldots, \frac{1}{36} \) (симметрично, максимум при 7); наибольшее из двух чисел \( W \) — \( \frac{1}{36}, \frac{3}{36}, \frac{5}{36}, \frac{7}{36}, \frac{9}{36}, \frac{11}{36} \); индикатор события с \( P(A) = p \) — значения 0 и 1 с вероятностями \( 1 - p \) и \( p \).
Основное свойство закона распределения
Сумма всех вероятностей в законе распределения всегда равна 1: \( p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1 \). Если равенство нарушено, значит, в таблицу попали не все значения или допущена ошибка в вычислении вероятностей. Свойством пользуются для проверки и для нахождения последней, самой трудной вероятности — вычитанием суммы остальных из 1. Удобный приём построения распределения для опыта с двумя кубиками — вспомогательная таблица \( 6 \times 6 \) со значениями величины для каждого исхода.
\( p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1 \)
Биномиальное распределение Bin(N, p)
Распределение числа успехов в \( N \) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \( p \): значения \( 0, 1, \ldots, N \), вероятности по формуле Бернулли. Название — от бинома Ньютона: вероятности \( C_N^k p^k q^{N-k} \) суть слагаемые разложения \( (p + q)^N = 1 \). Семейство с двумя параметрами \( N \) и \( p \). Число орлов при 10 бросках монеты — \( \mathrm{Bin}(10;\ 0{,}5) \): симметричное распределение с максимумом при 5 (\( \frac{252}{1024} \)); число шестёрок при 8 бросках кубика — \( \mathrm{Bin}(8;\ \frac16) \): несимметричное, максимум при 1 (0,372). В ЭТ — БИНОМРАСП(k; N; p; 0).
\( P(X = k) = C_N^k p^k q^{N-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, N \)
Геометрическое распределение Geom(p)
Распределение числа испытаний Бернулли до первого успеха включительно: значения \( 1, 2, 3, \ldots \) — дискретная величина с бесконечным множеством значений. Вероятности \( p, qp, q^2 p, \ldots \) образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \( q \) (отсюда название), их сумма \( \dfrac{p}{1-q} = 1 \). Один параметр — \( p \). Примеры: \( \mathrm{Geom}(\frac12) \) — 0,5; 0,25; 0,125; …; \( \mathrm{Geom}(\frac16) \) — 0,167; 0,083; 0,042; …; \( \mathrm{Geom}(0{,}2) \) — 0,2; 0,1; 0,05; … Наибольшая вероятность всегда у значения 1, далее вероятности быстро убывают; чем больше \( p \), тем круче спад.
\( P(X = k) = q^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots \)
