Найдите распределение W и опишите диаграммы.
Ответ
Событие \( W \le k \) означает, что на всех \( n \) кубиках выпало не больше \( k \): \( P(W \le k) = \left(\dfrac{k}{6}\right)^n \). Тогда \( P(W = k) = P(W \le k) - P(W \le k - 1) = \dfrac{k^n - (k-1)^n}{6^n} \), \( k = 1, \ldots, 6 \).
| \( W \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| общая формула | \( \frac{1}{6^n} \) | \( \frac{2^n - 1}{6^n} \) | \( \frac{3^n - 2^n}{6^n} \) | \( \frac{4^n - 3^n}{6^n} \) | \( \frac{5^n - 4^n}{6^n} \) | \( \frac{6^n - 5^n}{6^n} \) |
| \( n = 2 \) | 0,028 | 0,083 | 0,139 | 0,194 | 0,250 | 0,306 |
| \( n = 3 \) | 0,005 | 0,032 | 0,088 | 0,171 | 0,282 | 0,421 |
| \( n = 5 \) | 0,0001 | 0,004 | 0,027 | 0,100 | 0,270 | 0,598 |
| \( n = 10 \) | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,016 | 0,144 | 0,838 |
Диаграммы. Для \( n = 2 \) полигон — почти прямая, растущая от \( \frac{1}{36} \) до \( \frac{11}{36} \). С ростом \( n \) вероятности малых значений исчезают, а вероятность \( W = 6 \) растёт: при \( n = 5 \) она около 0,6, при \( n = 10 \) — 0,84. Полигон всё сильнее «прижимается» к правому краю: чем больше кубиков, тем вернее среди них найдётся шестёрка.
Ответ: \( P(W = k) = \dfrac{k^n - (k-1)^n}{6^n} \), \( k = 1, \ldots, 6 \).