В каждой партии: ничья — \( \frac12 \), победа А — \( \frac14 \), победа Б — \( \frac14 \). Матч заканчивается партией \( k \), если её выиграл игрок, у которого до этого была ровно одна победа, а у соперника — не больше одной.
Пусть в партии \( k \) вторую победу одержал А. В первых \( k - 1 \) партиях ровно одна победа А (место — \( k - 1 \) вариантов), а остальные \( k - 2 \) партии — либо все ничьи, либо одна победа Б и ничьи (\( k - 2 \) варианта места):
\[ P = \dfrac14 \cdot (k-1) \cdot \dfrac14 \left[\left(\dfrac12\right)^{k-2} + (k-2) \cdot \dfrac14 \left(\dfrac12\right)^{k-3}\right] = \dfrac{(k-1)}{16} \cdot \dfrac{1}{2^{k-2}} \left[1 + \dfrac{k-2}{2}\right] = \dfrac{k(k-1)}{2^{k+3}}. \]
То же для Б, поэтому \( P(X = k) = \dfrac{k(k-1)}{2^{k+2}} \), \( k = 2, 3, 4, \ldots \)
| Значения \( X \) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | \( k \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | \( \frac{2}{16} \) | \( \frac{6}{32} \) | \( \frac{12}{64} \) | \( \frac{20}{128} \) | \( \frac{30}{256} \) | … | \( \frac{k(k-1)}{2^{k+2}} \) |
Проверка первых значений: \( P(X = 2) = P(\text{АА}) + P(\text{ББ}) = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} \); \( P(X = 3) \): из последовательностей вида (А, не-А-победа), (не-А, А) с последней партией А: \( 2 \cdot \frac14 \cdot \frac34 \cdot \frac14 \cdot 2 = \frac{6}{32} \). Сумма всех вероятностей равна 1.
Ответ: \( P(X = k) = \dfrac{k(k-1)}{2^{k+2}} \), \( k = 2, 3, 4, \ldots \): \( \frac{2}{16}, \frac{6}{32}, \frac{12}{64}, \frac{20}{128}, \frac{30}{256}, \ldots \)