ГДЗ: Упражнение 985 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для нахождения всех первообразных функции \( f(x) = x^4 \) воспользуемся формулой для первообразной степенной функции \( f(x) = x^p \) при \( p \ne -1 \): \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \).

В данном случае \( p = 4 \). Подставляем это значение в формулу:

где \( C \) — произвольная постоянная.

Найдём производную полученной функции \( F(x) \):

Производная равна исходной функции \( f(x) = x^4 \).

Для нахождения всех первообразных функции \( f(x) = x^3 \) воспользуемся формулой для первообразной степенной функции \( f(x) = x^p \) при \( p \ne -1 \): \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \).

В данном случае \( p = 3 \). Подставляем это значение в формулу:

где \( C \) — произвольная постоянная.

Найдём производную полученной функции \( F(x) \): \( F'(x) = \left( \frac{x^4}{4} + C \right)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3 \). Верно.

Для нахождения всех первообразных функции \( f(x) = x^{-3} \) воспользуемся формулой для первообразной степенной функции \( f(x) = x^p \) при \( p \ne -1 \): \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \).

В данном случае \( p = -3 \). Подставляем это значение в формулу:

где \( C \) — произвольная постоянная.

Найдём производную: \( F'(x) = \left( -\frac{1}{2} x^{-2} + C \right)' = -\frac{1}{2} \cdot (-2)x^{-3} + 0 = x^{-3} \). Верно.

Для нахождения всех первообразных функции \( f(x) = x^2 \) воспользуемся формулой для первообразной степенной функции \( f(x) = x^p \) при \( p \ne -1 \): \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \).

В данном случае \( p = 2 \). Подставляем это значение в формулу:

где \( C \) — произвольная постоянная.

Найдём производную: \( F'(x) = \left( \frac{x^3}{3} + C \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 \). Верно.