ГДЗ: Упражнение 987 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Показать, что функция \( F(x) \) является первообразной функции \( f(x) \) на всей числовой прямой:
1)
\( F(x) = 3e^x \), \( f(x) = 3e^x \)
Ответ
Для того чтобы показать, что \( F(x) = 3e^x \) является первообразной функции \( f(x) = 3e^x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).
Шаг 1: Нахождение производной \( F(x) \).
Используем правило \( (Cu)' = Cu' \) и свойство \( (e^x)' = e^x \):
\( F'(x) = (3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' \)
\( F'(x) = 3e^x \)
Шаг 2: Сравнение.
Полученная производная \( F'(x) = 3e^x \) равна функции \( f(x) = 3e^x \).
Вывод:
Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = 3e^x \) является первообразной для \( f(x) = 3e^x \) на всей числовой прямой.
Для того чтобы показать, что \( F(x) = e^x \) является первообразной функции \( f(x) = e^x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).
Шаг 1: Нахождение производной \( F(x) \).
Используем свойство \( (e^x)' = e^x \):
\( F'(x) = (e^x)' \)
\( F'(x) = e^x \)
Шаг 2: Сравнение.
Полученная производная \( F'(x) = e^x \) равна функции \( f(x) = e^x \).
Вывод:
Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = e^x \) является первообразной для \( f(x) = e^x \) на всей числовой прямой.
Для того чтобы показать, что \( F(x) = \sin 2x \) является первообразной функции \( f(x) = 2\cos 2x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).
Шаг 1: Нахождение производной \( F(x) \).
Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (\sin u)' = (\cos u) \cdot u' \), где \( u = 2x \):
\( F'(x) = (\sin 2x)' \)
\( F'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' \)
\( F'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos 2x \)
Шаг 2: Сравнение.
Полученная производная \( F'(x) = 2\cos 2x \) равна функции \( f(x) = 2\cos 2x \).
Вывод:
Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = \sin 2x \) является первообразной для \( f(x) = 2\cos 2x \) на всей числовой прямой.
Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство: \( F'(x) = f(x) \).
\( F'(x) = f(x) \)
Основное свойство первообразных
Если \( F(x) \) - первообразная для \( f(x) \) на некотором промежутке, то любая другая первообразная \( \Phi(x) \) для \( f(x) \) на этом промежутке может быть представлена в виде: \( \Phi(x) = F(x) + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.
\( \Phi(x) = F(x) + C \)
Формула для нахождения первообразной степенной функции
Первообразная для функции \( f(x) = x^p \) (при \( p \ne -1 \)) находится по формуле:
\( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)
Правило нахождения первообразной для тригонометрических функций
Первообразная для функции \( f(x) = \cos x \) - это \( \sin x \), так как \( (\sin x)' = \cos x \). Первообразная для функции \( f(x) = \sin x \) - это \( -\cos x \), так как \( (-\cos x)' = \sin x \).
\( (\sin x)' = \cos x \text{ и } (-\cos x)' = \sin x \)
Правило нахождения первообразной для показательной функции
Первообразная для функции \( f(x) = e^x \) - это \( e^x \), так как \( (e^x)' = e^x \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
