ГДЗ: Упражнение 986 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Для функции \( f(x) \) найти первообразную, график которой проходит через точку \( M \):
1)
\( f(x) = x \), \( M(-1; 3) \)
Ответ
Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции \( f(x) = x \). Затем, используя условие прохождения графика через точку \( M(-1; 3) \), найдем значение произвольной постоянной \( C \).
Шаг 1: Нахождение общего вида первообразных.
Используем формулу для первообразной степенной функции \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \). Здесь \( p = 1 \):
\( F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C \)
Все первообразные имеют вид \( F(x) = \frac{x^2}{2} + C \).
Шаг 2: Определение постоянной \( C \).
График первообразной проходит через точку \( M(-1; 3) \). Это означает, что при \( x = -1 \) значение функции \( F(x) \) равно \( 3 \):
Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции \( f(x) = \sqrt{x} \). Затем, используя условие прохождения графика через точку \( M(9; 10) \), найдем значение произвольной постоянной \( C \).
Шаг 1: Нахождение общего вида первообразных.
Перепишем \( f(x) \) в виде степенной функции: \( f(x) = x^{1/2} \). Используем формулу для первообразной степенной функции \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \). Здесь \( p = \frac{1}{2} \):
Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство: \( F'(x) = f(x) \).
\( F'(x) = f(x) \)
Основное свойство первообразных
Если \( F(x) \) - первообразная для \( f(x) \) на некотором промежутке, то любая другая первообразная \( \Phi(x) \) для \( f(x) \) на этом промежутке может быть представлена в виде: \( \Phi(x) = F(x) + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.
\( \Phi(x) = F(x) + C \)
Формула для нахождения первообразной степенной функции
Первообразная для функции \( f(x) = x^p \) (при \( p \ne -1 \)) находится по формуле:
\( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)
Правило нахождения первообразной для тригонометрических функций
Первообразная для функции \( f(x) = \cos x \) - это \( \sin x \), так как \( (\sin x)' = \cos x \). Первообразная для функции \( f(x) = \sin x \) - это \( -\cos x \), так как \( (-\cos x)' = \sin x \).
\( (\sin x)' = \cos x \text{ и } (-\cos x)' = \sin x \)
Правило нахождения первообразной для показательной функции
Первообразная для функции \( f(x) = e^x \) - это \( e^x \), так как \( (e^x)' = e^x \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
