ГДЗ: Упражнение 1001 - § 56 (Площадь криволинейной трапеции и интеграл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ условий.

• Фигура ограничена параболой \( y = 4 - x^2 \) и осью \( Ox \) (\(y = 0\)).
• Чтобы найти границы интегрирования \([a; b]\), необходимо найти точки пересечения параболы с осью \(Ox\): \( 4 - x^2 = 0 \), откуда \( x^2 = 4 \), и \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \).
• Парабола \( y = 4 - x^2 \) ветвями вниз, вершина \((0; 4)\). На отрезке \([-2; 2]\) функция \( y \ge 0 \).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = 4 - x^2 \) — это функция \( F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(2) - F(-2) = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(2) \): \( 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \).
• Вычислим \( F(-2) \): \( -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10 \frac{2}{3} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{32}{3} \) или \( 10 \frac{2}{3} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Анализ условий.

• Фигура ограничена параболой \( y = 1 - x^2 \) и осью \( Ox \).
• Найдем точки пересечения: \( 1 - x^2 = 0 \), откуда \( x^2 = 1 \), и \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).
• Парабола \( y = 1 - x^2 \) ветвями вниз. На отрезке \([-1; 1]\) функция \( y \ge 0 \). Отрезок интегрирования: \([-1; 1]\).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = 1 - x^2 \) — это функция \( F(x) = x - \frac{x^3}{3} \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(1) - F(-1) = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( (-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(1) \): \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
• Вычислим \( F(-1) \): \( -1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{4}{3} \) или \( 1 \frac{1}{3} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Анализ условий.

• Фигура ограничена параболой \( y = -x^2 + 4x - 3 \) и осью \( Ox \).
• Найдем точки пересечения: \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \). Умножим на \(-1\): \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
• Найдем корни квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): \( (x-1)(x-3) = 0 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).
• Парабола ветвями вниз. На отрезке \([1; 3]\) функция \( y \ge 0 \). Отрезок интегрирования: \([1; 3]\).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) — это функция \( F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(3) - F(1) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(3) \): \( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) = -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \).
• Вычислим \( F(1) \): \( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{4}{3} \) или \( 1 \frac{1}{3} \) квадратных единиц.