ГДЗ: Упражнение 1003 - § 56 (Площадь криволинейной трапеции и интеграл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ условий и определение границ.

• Граница \( b=2 \) не является достаточной, поскольку задан интервал \( [2; 5] \). Вероятно, \( a=2 \) и \( b=5 \). Однако в условии написано \( 2 \le x \le 5 \), что означает, что границы интегрирования \([2; 5]\) уже заданы. Проверим функцию \( f(x) = 5x - x^2 \).
• Найдем точки пересечения с осью \(Ox\): \( 5x - x^2 = 0 \), \( x(5-x) = 0 \). Корни \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 5 \).
• На заданном отрезке \([2; 5]\), функция меняет знак: \( f(x) \ge 0 \) на \([2; 5]\) до \( x=5 \), но \( f(x) \) становится отрицательной сразу после \( x=5 \) (хотя это не на нашем отрезке). Но, если рассматривать фигуру ограниченную осью \(Ox\), то она должна быть выше оси. В данном случае, на \([2; 5]\), функция \( f(x) \ge 0 \), поэтому площадь вычисляется прямым интегрированием. Используем границы \([2; 5]\).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{2}^{5} (5x - x^2) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = 5x - x^2 \) — это функция \( F(x) = 5\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(5) - F(2) = \left( \frac{5(5^2)}{2} - \frac{5^3}{3} \right) - \left( \frac{5(2^2)}{2} - \frac{2^3}{3} \right) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(5) \): \( \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = 125 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 125 \left( \frac{3-2}{6} \right) = \frac{125}{6} \).
• Вычислим \( F(2) \): \( \frac{5(4)}{2} - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{125}{6} - \frac{22}{3} = \frac{125}{6} - \frac{44}{6} = \frac{125 - 44}{6} = \frac{81}{6} \).
• Сократим дробь: \( S = \frac{27}{2} = 13 \frac{1}{2} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{27}{2} \) или \( 13 \frac{1}{2} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Анализ условий и определение границ.

• Задача неявно подразумевает, что одна из границ — это точка пересечения графика с осью \(Ox\), либо граница \(a=0\) (ось \(Oy\)). Так как \( f(x) = x^4 + 2x \) имеет корень \( x(x^3+2)=0 \) при \( x=0 \) и \( x=-\sqrt[3]{2} \approx -1.26 \), а также \( f(x) \ge 0 \) для \( x \ge 0 \), и \(\{0, 3\}\) — это, наиболее вероятно, границы \([a; b]\). Используем \( a=0 \) и \( b=3 \).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{0}^{3} (x^4 + 2x) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^4 + 2x \) — это функция \( F(x) = \frac{x^5}{5} + 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^5}{5} + x^2 \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(3) - F(0) = \left( \frac{3^5}{5} + 3^2 \right) - \left( \frac{0^5}{5} + 0^2 \right) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(3) \): \( \frac{243}{5} + 9 = 48.6 + 9 = 57.6 \) или \( \frac{243}{5} + \frac{45}{5} = \frac{288}{5} \).
• Вычислим \( F(0) \): \( 0 \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{288}{5} = 57 \frac{3}{5} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{288}{5} \) или \( 57 \frac{3}{5} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Анализ условий и определение границ.

• Одна граница \( b=1 \). Найдем вторую границу \( a \) из условия пересечения с осью \( Ox \): \( e^x - 1 = 0 \), откуда \( e^x = 1 \), и \( x = 0 \).
• Отрезок интегрирования: \([0; 1]\). На этом отрезке \( e^x - 1 \ge 0 \).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = e^x - 1 \) — это функция \( F(x) = e^x - x \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(1) - F(0) = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(1) \): \( e - 1 \).
• Вычислим \( F(0) \): \( e^0 - 0 = 1 - 0 = 1 \).
• Вычислим площадь: \( S = (e - 1) - 1 = e - 2 \).

Ответ: Площадь равна \( e - 2 \) квадратных единиц.

Шаг 1: Анализ условий и определение границ.

• Одна граница \( b=2 \). Найдем вторую границу \( a \) из условия пересечения с осью \( Ox \): \( 1 - \frac{1}{x} = 0 \), откуда \( \frac{1}{x} = 1 \), и \( x = 1 \).
• Отрезок интегрирования: \([1; 2]\). На этом отрезке \( f(x) \ge 0 \).

Шаг 2: Запись формулы площади.

\( S = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx \)

Шаг 3: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = 1 - \frac{1}{x} \) — это функция \( F(x) = x - \ln|x| \). Поскольку \( x \in [1; 2] \), то \( F(x) = x - \ln x \).

Шаг 4: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(2) - F(1) = (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) \)

Шаг 5: Расчет.

• Вычислим \( F(2) \): \( 2 - \ln 2 \).
• Вычислим \( F(1) \): \( 1 - \ln 1 = 1 - 0 = 1 \).
• Вычислим площадь: \( S = (2 - \ln 2) - 1 = 1 - \ln 2 \).

Ответ: Площадь равна \( 1 - \ln 2 \) квадратных единиц.