ГДЗ: Упражнение 228 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Представим число \( 9 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 9 = 3^2 \). Неравенство примет вид: \( 3^x > 3^2 \). Пояснение: Основание степени \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), показательная функция \( y = 3^x \) является возрастающей. Следовательно, знак неравенства сохраняется.
\( x > 2 \).
Ответ: \( (2; +\infty) \).
2)
\( (\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4} \)
Ответ
Представим число \( \frac{1}{4} \) как степень с основанием \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 \). Неравенство примет вид: \( (\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2 \). Пояснение: Основание степени \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), показательная функция \( y = (\frac{1}{2})^x \) является убывающей. Следовательно, знак неравенства меняется на противоположный.
\( x < 2 \).
Ответ: \( (-\infty; 2) \).
3)
\( (\frac{1}{4})^x < 2 \)
Ответ
Представим основание \( \frac{1}{4} \) как \( (2^{-2}) \) или \( 2 \) как степень \( (\frac{1}{4}) \). Проще использовать основание \( 2 \): \( (2^{-2})^x < 2^1 \implies 2^{-2x} < 2^1 \). Пояснение: Основание степени \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
\( -2x < 1 \). Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \( x > -\frac{1}{2} \).
Ответ: \( (-\frac{1}{2}; +\infty) \).
4)
\( 4^x < \frac{1}{2} \)
Ответ
Приведем обе части к основанию \( 2 \): \( (2^2)^x < 2^{-1} \implies 2^{2x} < 2^{-1} \). Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
\( 2x < -1 \implies x < -\frac{1}{2} \).
Ответ: \( (-\infty; -\frac{1}{2}) \).
5)
\( 2^{5x} \ge \frac{1}{2} \)
Ответ
Представим \( \frac{1}{2} \) как степень с основанием \( 2 \): \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Неравенство примет вид: \( 2^{5x} \ge 2^{-1} \). Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
\( 5x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{5} \).
Ответ: \( [-\frac{1}{5}; +\infty) \).
6)
\( (\frac{1}{3})^{x - 1} < \frac{1}{9} \)
Ответ
Представим \( \frac{1}{9} \) как степень с основанием \( \frac{1}{3} \): \( \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2 \). Неравенство примет вид: \( (\frac{1}{3})^{x - 1} < (\frac{1}{3})^2 \). Пояснение: Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.
\( x - 1 > 2 \implies x > 3 \).
Ответ: \( (3; +\infty) \).
Что применять при решении
Свойство монотонности показательной функции
Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для решения показательных неравенств. При возрастающей функции знак неравенства сохраняется, при убывающей — меняется на противоположный.
Если \( a > 1 \), то \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x) \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x) \).
Метод замены переменной
Для решения некоторых показательных неравенств, содержащих выражения вида \( a^{kx} \) и \( a^x \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \). Это приводит к рациональному (или другому известному типу) неравенству относительно \( t \).
Например, в неравенстве \( A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C > 0 \) делается замена \( t = a^x \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
