ГДЗ: Упражнение 239 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перепишем с общим основанием. \( 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). \( 2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1} \).
\( 0,4^x = (\frac{2}{5})^x \).
\( 2,5^{x + 1} = (\frac{2}{5})^{-(x + 1)} = (\frac{2}{5})^{-x - 1} \).

Неравенство примет вид: \( (\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x - 1} > 1,5 \).

\( (\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x} \cdot (\frac{2}{5})^{-1} > 1,5 \).
\( (\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{2})^x > \frac{3}{2} \).
\( (\frac{2}{5})^x - 2,5 \cdot (\frac{5}{2})^x > 1,5 \).

Проще использовать замену. Пусть \( t = (\frac{2}{5})^x \). Тогда \( (\frac{5}{2})^x = \frac{1}{t} \). Условие: \( t > 0 \).

\( t - 2,5 \cdot \frac{1}{t} > 1,5 \).
\( t - \frac{5}{2t} > \frac{3}{2} \).

Умножим на \( 2t \) (т.к. \( t > 0 \), знак неравенства не меняется):
\( 2t^2 - 5 > 3t \).
\( 2t^2 - 3t - 5 > 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( 2t^2 - 3t - 5 = 0 \):
\( D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 \).
\( t_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{4} \implies t_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \), \( t_2 = \frac{3 + 7}{4} = 2,5 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( 2t^2 - 3t - 5 > 0 \) выполняется вне корней:
\( t < -1 \) или \( t > 2,5 \).

Выполняем обратную замену \( t = (\frac{2}{5})^x \), учитывая \( t > 0 \):

• Случай \( t < -1 \): \( (\frac{2}{5})^x < -1 \). Нет решений.
• Случай \( t > 2,5 \): \( (\frac{2}{5})^x > 2,5 \).

Решаем \( (\frac{2}{5})^x > \frac{5}{2} \). Так как \( \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1} \):
\( (\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^{-1} \).
Основание \( a = \frac{2}{5} \). Так как \( 0 < \frac{2}{5} < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( x < -1 \).

Ответ: \( (-\infty; -1) \).

Приведем все к основанию \( 0,2 \). \( 0,2 = \frac{1}{5} \).

• \( 25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2} = 0,2^{-2} \).
• \( 0,04 = (0,2)^2 \). \( 0,04^{2x} = ((0,2)^2)^{2x} = 0,2^{4x} \).

Неравенство примет вид: \( 0,2^{-2} \cdot 0,2^{4x} > 0,2^{3x - x^2} \).
\( 0,2^{4x - 2} > 0,2^{3x - x^2} \).
Основание \( a = 0,2 \). Так как \( 0 < 0,2 < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( 4x - 2 < 3x - x^2 \).
\( x^2 + 4x - 3x - 2 < 0 \).
\( x^2 + x - 2 < 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \):
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -2 \). Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( x^2 + x - 2 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( (-2; 1) \).

Область допустимых значений (ОДЗ): \( x \ge 0 \).

Используем метод замены переменной. Перепишем \( 4^x \) как \( (4^{\sqrt{x}})^{\sqrt{x}} \). Это не упрощает.
Воспользуемся тем, что \( x = (\sqrt{x})^2 \). Пусть \( t = \sqrt{x} \). Так как \( x \ge 0 \), то \( t \ge 0 \). \( x = t^2 \).
Неравенство примет вид: \( 4^{t^2} - 3 \cdot 4^t < 4 \).

Рассмотрим функцию \( f(t) = 4^{t^2} - 3 \cdot 4^t - 4 \). Нужно найти \( f(t) < 0 \).

Находим корни уравнения \( 4^{t^2} - 3 \cdot 4^t - 4 = 0 \). Это трансцендентное уравнение. Попробуем угадать корень:
При \( t = 0 \): \( 4^0 - 3 \cdot 4^0 - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \ne 0 \).
При \( t = 1 \): \( 4^1 - 3 \cdot 4^1 - 4 = 4 - 12 - 4 = -12 \ne 0 \).
При \( t = 2 \): \( 4^4 - 3 \cdot 4^2 - 4 = 256 - 48 - 4 \ne 0 \).

Попробуем другую замену: \( z = 4^t \). Условие: \( z \ge 4^0 = 1 \).
\( 4^{t^2} = 4^{(t)^2} \). Не упрощается.
Вернемся к графическому анализу (неявный метод). \( 4^{t^2} < 3 \cdot 4^t + 4 \).

Рассмотрим \( t = 1 \): \( 4 < 3 \cdot 4 + 4 = 16 \). Верно.
Рассмотрим \( t = 2 \): \( 256 < 3 \cdot 16 + 4 = 52 \). Неверно.

Функция \( g(t) = 4^{t^2} \) растет быстрее, чем \( h(t) = 3 \cdot 4^t + 4 \). Корень \( t_0 \in (1; 2) \).

Путем подбора: \( t = \frac{3}{2} = 1,5 \): \( 4^{2,25} \approx 32 \). \( 3 \cdot 4^{1,5} + 4 = 3 \cdot 8 + 4 = 28 \). \( 32 \not< 28 \). Неверно. Корень \( t_0 \in (1; 1,5) \).

Пусть \( t_0 \) — единственный положительный корень уравнения \( 4^{t^2} = 3 \cdot 4^t + 4 \). Неравенство \( 4^{t^2} < 3 \cdot 4^t + 4 \) выполняется для \( t \in [0; t_0) \).

Обратная замена: \( 0 \le \sqrt{x} < t_0 \).
\( 0 \le x < t_0^2 \).

Ответ: \( [0; t_0^2) \), где \( t_0 \) — единственный положительный корень уравнения \( 4^{t^2} = 3 \cdot 4^t + 4 \).

Приведем все к основанию \( 2 \). \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \), \( 32 = 2^5 \).

Неравенство примет вид:
\( (2^{-2})^x - 2^5 \cdot (2^{-3})^{x^2 - 1} < 0 \).
\( 2^{-2x} - 2^5 \cdot 2^{-3x^2 + 3} < 0 \).
\( 2^{-2x} - 2^{-3x^2 + 8} < 0 \).

Перенесем второй член вправо:
\( 2^{-2x} < 2^{-3x^2 + 8} \).
Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( -2x < -3x^2 + 8 \).
\( 3x^2 - 2x - 8 < 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( 3x^2 - 2x - 8 = 0 \):
\( D = (-2)^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100 \).
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm 10}{6} \implies x_1 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \), \( x_2 = \frac{12}{6} = 2 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( 3x^2 - 2x - 8 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( (-\frac{4}{3}; 2) \).