ГДЗ: Упражнение 231 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Представим \( 4 \) как степень с основанием \( 2 \): \( 4 = 2^2 \).
Неравенство примет вид: \( 2^{x^2 - 3x} < 2^2 \).
Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 3x < 2 \).
\( x^2 - 3x - 2 < 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 2 = 0 \):
\( D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17 \).
\( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \).

Так как парабола \( y = x^2 - 3x - 2 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 3x - 2 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( (\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{3 + \sqrt{17}}{2}) \).

Представим правую часть с основанием \( \frac{2}{9} \). Заметим, что \( \frac{9}{7} = (\frac{2}{9})^c \) должно быть верно. Поскольку \( \frac{2}{9} < 1 \), а \( \frac{9}{7} > 1 \), то показатель степени \( c \) должен быть отрицательным. Воспользуемся логарифмированием (или определением логарифма): \( c = \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7} \).

Неравенство примет вид: \( (\frac{2}{9})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{2}{9})^{\log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7}} \).
Пояснение: Основание \( a = \frac{2}{9} \). Так как \( 0 < \frac{2}{9} < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( 2x^2 - 3x \le \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7} \).

Поскольку \( \frac{9}{7} > 1 \) и основание \( \frac{2}{9} < 1 \), то \( \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7} < 0 \). Пусть \( c = \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7} \).
\( 2x^2 - 3x - c \le 0 \).

Находим корни уравнения \( 2x^2 - 3x - c = 0 \):
\( D = (-3)^2 - 4(2)(-c) = 9 + 8c \).
Поскольку \( c < 0 \), то \( 8c < 0 \). Необходимо проверить, является ли дискриминант положительным. \( \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7} \approx -0,078 \). \( 9 + 8c \approx 9 - 0,624 = 8,376 > 0 \).
\( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7}}}{4} \).

Пусть \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{9 + 8c}}{4} \) и \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{9 + 8c}}{4} \).
Неравенство \( 2x^2 - 3x - c \le 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( [\frac{3 - \sqrt{9 + 8 \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7}}}{4}; \frac{3 + \sqrt{9 + 8 \log_{\frac{2}{9}} \frac{9}{7}}}{4}] \).

Представим правую часть с основанием \( \frac{13}{11} \):
\( \frac{121}{169} = \frac{11^2}{13^2} = (\frac{11}{13})^2 = ((\frac{13}{11})^{-1})^2 = (\frac{13}{11})^{-2} \).
Неравенство примет вид: \( (\frac{13}{11})^{x^2 - 3x} < (\frac{13}{11})^{-2} \).
Пояснение: Основание \( a = \frac{13}{11} \). Так как \( \frac{13}{11} > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 3x < -2 \).
\( x^2 - 3x + 2 < 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \):
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 3 \), \( x_1 x_2 = 2 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 3x + 2 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( (1; 2) \).

Сначала приведем степени к одинаковому показателю \( x^2 + 6x \):
\( 6^{2(x^2 + 0.5x)} \le 7^{x^2 + 6x} \). Этот путь не подходит, так как показатели разные.

Приведем неравенство к виду, где справа будет 1, разделив на \( 7^{x^2 + 6x} \):
\( \frac{6^{2x^2 + x}}{7^{x^2 + 6x}} \le 1 \).

Возьмем логарифм по основанию \( 10 \) (или натуральный логарифм) от обеих частей. Основание \( 10 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.

\( \log(6^{2x^2 + x}) \le \log(7^{x^2 + 6x}) \).
\( (2x^2 + x) \log 6 \le (x^2 + 6x) \log 7 \).
\( 2x^2 \log 6 + x \log 6 \le x^2 \log 7 + 6x \log 7 \).

Перенесем все в левую часть:

\( x^2 (2 \log 6 - \log 7) + x (\log 6 - 6 \log 7) \le 0 \).

Найдем знаки коэффициентов. Используя свойства логарифмов:

• Коэффициент при \( x^2 \): \( A = 2 \log 6 - \log 7 = \log (6^2) - \log 7 = \log 36 - \log 7 = \log \frac{36}{7} \). Так как \( \frac{36}{7} > 1 \), то \( A > 0 \).
• Коэффициент при \( x \): \( B = \log 6 - 6 \log 7 = \log 6 - \log (7^6) = \log \frac{6}{7^6} \). Так как \( \frac{6}{7^6} < 1 \), то \( B < 0 \).

Неравенство: \( A x^2 + B x \le 0 \). Вынесем \( x \):
\( x (Ax + B) \le 0 \).

Находим корни уравнения \( x (Ax + B) = 0 \): \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -\frac{B}{A} \).

\( -\frac{B}{A} = -\frac{\log \frac{6}{7^6}}{\log \frac{36}{7}} = \frac{\log 7^6 - \log 6}{\log 36 - \log 7} \).
Так как \( A > 0 \) и \( B < 0 \), то \( -\frac{B}{A} > 0 \). \( x_1 = 0 \) и \( x_2 > 0 \).

Поскольку парабола \( y = Ax^2 + Bx \) ветвями вверх (\( A > 0 \)), неравенство \( A x^2 + B x \le 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( [0; \frac{\log 7^6 - \log 6}{\log 36 - \log 7}] \).