ГДЗ: Упражнение 235 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Задача сводится к решению неравенства: \( (\frac{1}{4})^x > (\frac{1}{2})^x + 12 \).

Перепишем с общим основанием \( \frac{1}{2} \): \( (\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = (\frac{1}{2})^{2x} = ((\frac{1}{2})^x)^2 \).
Неравенство примет вид: \( ((\frac{1}{2})^x)^2 > (\frac{1}{2})^x + 12 \).

Используем метод замены переменной: Пусть \( t = (\frac{1}{2})^x \). Условие: \( t > 0 \).
\( t^2 > t + 12 \).
\( t^2 - t - 12 > 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( t^2 - t - 12 = 0 \):
По теореме Виета: \( t_1 + t_2 = 1 \), \( t_1 t_2 = -12 \). Корни: \( t_1 = -3 \), \( t_2 = 4 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( t^2 - t - 12 > 0 \) выполняется вне корней:
\( t < -3 \) или \( t > 4 \).

Выполняем обратную замену, учитывая, что \( t = (\frac{1}{2})^x \) и \( t > 0 \):

• Случай \( t < -3 \): \( (\frac{1}{2})^x < -3 \). Нет решений, так как \( (\frac{1}{2})^x > 0 \).
• Случай \( t > 4 \): \( (\frac{1}{2})^x > 4 \).

Решаем \( (\frac{1}{2})^x > 4 \). Представим \( 4 \) как степень с основанием \( \frac{1}{2} \):
\( 4 = (2^2) = ( (\frac{1}{2})^{-1} )^2 = (\frac{1}{2})^{-2} \).
Неравенство примет вид: \( (\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{-2} \).
Основание \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( x < -2 \).

Ответ: \( (-\infty; -2) \).