ГДЗ: Упражнение 229 - Параграф § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

229 упражнение:

Решить неравенство:

1) \( 5^{x^2 - 1} \le \sqrt{5} \)

Ответ

Представим \( \sqrt{5} \) как степень с основанием \( 5 \): \( \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \).
Неравенство примет вид: \( 5^{x^2 - 1} \le 5^{\frac{1}{2}} \).
Пояснение: Основание \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 1 \le \frac{1}{2} \).
\( x^2 \le 1 + \frac{1}{2} \implies x^2 \le 1,5 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 1,5 \) это \( x = \pm \sqrt{1,5} \).
Так как парабола \( y = x^2 - 1,5 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 1,5 \le 0 \) выполняется между корнями.

\( -\sqrt{1,5} \le x \le \sqrt{1,5} \).

Ответ: \( [-\sqrt{1,5}; \sqrt{1,5}] \).

2) \( 3^{2x} > 9 \)

Ответ

Представим \( 9 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 9 = 3^2 \).
Неравенство примет вид: \( 3^{2x} > 3^2 \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x > 2 \implies x > 1 \).

Ответ: \( (1; +\infty) \).

3) \( 3^{x^2 - 4} > 1 \)

Ответ

Представим \( 1 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 1 = 3^0 \).
Неравенство примет вид: \( 3^{x^2 - 4} > 3^0 \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 4 > 0 \).
\( x^2 > 4 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 4 \) это \( x = \pm 2 \).
Так как парабола \( y = x^2 - 4 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 4 > 0 \) выполняется вне корней.

\( x < -2 \) или \( x > 2 \).

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).

4) \( 5^{2x^2 - 18} < 1 \)

Ответ

Представим \( 1 \) как степень с основанием \( 5 \): \( 1 = 5^0 \).
Неравенство примет вид: \( 5^{2x^2 - 18} < 5^0 \).
Пояснение: Основание \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x^2 - 18 < 0 \).
\( 2(x^2 - 9) < 0 \implies x^2 - 9 < 0 \).
\( x^2 < 9 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 9 \) это \( x = \pm 3 \).
Неравенство \( x^2 - 9 < 0 \) выполняется между корнями.

\( -3 < x < 3 \).

Ответ: \( (-3; 3) \).

Что применять при решении

Свойство монотонности показательной функции

Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для решения показательных неравенств. При возрастающей функции знак неравенства сохраняется, при убывающей — меняется на противоположный.

Если \( a > 1 \), то \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x) \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x) \).

Метод замены переменной

Для решения некоторых показательных неравенств, содержащих выражения вида \( a^{kx} \) и \( a^x \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \). Это приводит к рациональному (или другому известному типу) неравенству относительно \( t \).

Например, в неравенстве \( A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C > 0 \) делается замена \( t = a^x \).

Другие упражнения из параграфа § 13

228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: § 13 — Показательные неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.