ГДЗ: Параграф 12 / Математика 5 класс. Часть 1

3 · 5 = 15: пять одинаковых слагаемых, равных трём.

Найти сумму n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно m.

m и n — множители, результат — произведение.

При множителе 1 произведение равно другому множителю; при множителе 0 оно равно 0.

От перестановки множителей произведение не меняется: ab = ba. Для умножения произведения на число можно умножить первый множитель на произведение остальных: (ab)c = a(bc).

Между буквами, между числом и следующей за ним буквой или скобкой, между скобками: ab, 7a, 3(x + y), (a + 3)(b − 4). Между двумя числовыми множителями знак сохраняют.

а) Представьте сумму в виде произведения. 608 + 608 + 608;

Число одинаковых слагаемых становится вторым множителем: сумму k слагаемых, равных a, записывают как a · k.

608 · 3;

Ответ: 608 · 3.

б) Представьте сумму в виде произведения. 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45;

Число одинаковых слагаемых становится вторым множителем: сумму k слагаемых, равных a, записывают как a · k.

45 · 6;

Ответ: 45 · 6.

в) Представьте сумму в виде произведения. b + b + b + b + b + b + b;

Число одинаковых слагаемых становится вторым множителем: сумму k слагаемых, равных a, записывают как a · k.

7b;

Ответ: 7b.

г) Представьте сумму в виде произведения. (a − 1) + (a − 1) + (a − 1) + (a − 1).

Число одинаковых слагаемых становится вторым множителем: сумму k слагаемых, равных a, записывают как a · k.

4(a − 1). Число равных слагаемых становится вторым множителем.

Ответ: 4(a − 1).

а) Представьте сумму одинаковых слагаемых в виде произведения. 10 + 10 + … + 10 — всего 100 слагаемых;

В произведении первым множителем записываем повторяющееся слагаемое, вторым — число его повторений.

10 · 100;

Ответ: 10 · 100.

б) Представьте сумму одинаковых слагаемых в виде произведения. 5 + 5 + … + 5 — всего n слагаемых;

В произведении первым множителем записываем повторяющееся слагаемое, вторым — число его повторений.

5n;

Ответ: 5n.

в) Представьте сумму одинаковых слагаемых в виде произведения. y + y + … + y — всего 20 слагаемых;

В произведении первым множителем записываем повторяющееся слагаемое, вторым — число его повторений.

20y;

Ответ: 20y.

г) Представьте сумму одинаковых слагаемых в виде произведения. k + k + … + k — всего n слагаемых.

В произведении первым множителем записываем повторяющееся слагаемое, вторым — число его повторений.

kn.

Ответ: kn.

а) Замените произведение суммой. 4 · 5;

Произведение a · n заменяем суммой n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a.

4 + 4 + 4 + 4 + 4;

Ответ: 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

б) Замените произведение суммой. 5 · 4;

Произведение a · n заменяем суммой n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a.

5 + 5 + 5 + 5;

Ответ: 5 + 5 + 5 + 5.

в) Замените произведение суммой. 712 · 3;

Произведение a · n заменяем суммой n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a.

712 + 712 + 712;

Ответ: 712 + 712 + 712.

г) Замените произведение суммой. 100 · 10.

Произведение a · n заменяем суммой n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a.

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100.

Ответ: 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100.

а) Замените произведение суммой. a · 9;

Второй множитель показывает число повторений первого. Если первый множитель — выражение, каждое его повторение заключаем в скобки.

a + a + a + a + a + a + a + a + a;

Ответ: a + a + a + a + a + a + a + a + a.

б) Замените произведение суммой. 7 · k;

Второй множитель показывает число повторений первого. Если первый множитель — выражение, каждое его повторение заключаем в скобки.

7 + 7 + … + 7 (k слагаемых);

Ответ: 7 + 7 + … + 7 (k слагаемых).

в) Замените произведение суммой. (a + b) · 6;

Второй множитель показывает число повторений первого. Если первый множитель — выражение, каждое его повторение заключаем в скобки.

(a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b);

Ответ: (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b).

г) Замените произведение суммой. (x + z + 6) · 3.

Второй множитель показывает число повторений первого. Если первый множитель — выражение, каждое его повторение заключаем в скобки.

(x + z + 6) + (x + z + 6) + (x + z + 6).

Ответ: (x + z + 6) + (x + z + 6) + (x + z + 6).

24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 = 6 · 4 = 8 · 3 = 12 · 2 = 24 · 1. Перечислены все упорядоченные пары натуральных множителей.

Ответ: 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6; также подходят пары с обратным порядком множителей.

6 мин 30 с = 390 с; 390 · 8 = 3120 с = 52 мин.

Ответ: 52 мин.

KN = 12 : 4 = 3 см; MN = MK + KN = 12 + 3 = 15 см.

Ответ: MN = 15 см.

CD = 16 · 8 = 128 см.

Ответ: CD = 128 см.

В теплице собрали 18 · 4 = 72 кг; всего 18 + 72 = 90 кг.

Ответ: 90 кг огурцов.

Володе 13 − 6 = 7 лет; маме 7 · 5 = 35 лет.

Ответ: Володе 7 лет, маме 35 лет.

а) 155 · 9

155 × 9 = 1 395.

Ответ: 1 395.

б) 57 · 34

57 × 34 = 1 938.

Ответ: 1 938.

в) 296 · 8

296 × 8 = 2 368.

Ответ: 2 368.

г) 68 · 93

68 × 93 = 6 324.

Ответ: 6 324.

а) 667 · 14

667 × 14 = 9 338.

Ответ: 9 338.

б) 705 · 29

705 × 29 = 20 445.

Ответ: 20 445.

в) 718 · 208

718 × 208 = 149 344.

Ответ: 149 344.

г) 303 · 406

303 × 406 = 123 018.

Ответ: 123 018.

а) 3574 · 742

3 574 × 742 = 2 651 908.

Ответ: 2 651 908.

б) 6405 · 907

6 405 × 907 = 5 809 335.

Ответ: 5 809 335.

в) 2218 · 2244

2 218 × 2 244 = 4 977 192.

Ответ: 4 977 192.

г) 3004 · 5005

3 004 × 5 005 = 15 035 020.

Ответ: 15 035 020.

а) 48 · 100

48 × 100 = 4 800.

Ответ: 4 800.

б) 405 · 30000

405 × 30 000 = 12 150 000.

Ответ: 12 150 000.

в) 6700 · 89000

6 700 × 89 000 = 596 300 000.

Ответ: 596 300 000.

г) 1020 · 3400000

1 020 × 3 400 000 = 3 468 000 000.

Ответ: 3 468 000 000.

а) 503 + 503 + 503 + 503 + 118

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 503 × 4 = 2 012.
2. 2 012 + 118 = 2 130.

Ответ: 2 130.

б) 515 + 515 + 215 + 215 + 215

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 515 × 2 = 1 030.
2. 215 × 3 = 645.
3. 1 030 + 645 = 1 675.

Ответ: 1 675.

в) 2018 + 602 + 602 + 602 + 602 + 602

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 602 × 5 = 3 010.
2. 2 018 + 3 010 = 5 028.

Ответ: 5 028.

г) 85 + 85 + 85 + 85 + 85 + 1250 + 1250

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 85 × 5 = 425.
2. 1 250 × 2 = 2 500.
3. 425 + 2 500 = 2 925.

Ответ: 2 925.

а) Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы письменное умножение было выполнено верно. Сохраните все промежуточные произведения. 316 · □□; произведение на цифру единиц имеет вид □□80, на цифру десятков — □48.

Чтобы получить строку, заканчивающуюся на 80, умножаем 316 на 5: 316 · 5 = 1580. Строка □48 получается при умножении на 3: 316 · 3 = 948. Второй множитель 35. С учётом разряда десятков: 1580 + 9480 = 11060.

Ответ: 316 · 35 = 11060.

б) Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы письменное умножение было выполнено верно. Сохраните все промежуточные произведения. 3□2 · 3□; произведение на цифру единиц имеет вид □62.

Строка □62 должна получиться при умножении числа 3□2 на цифру единиц. Подходит 362 · 1 = 362. Тогда строка умножения на 3 равна 1086, с разрядным сдвигом 10860. Итого 362 + 10860 = 11222; множители 362 и 31.

Ответ: 362 · 31 = 11222.

в) Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы письменное умножение было выполнено верно. Сохраните все промежуточные произведения. 37 · 4□; произведение на цифру единиц равно 333, на цифру десятков имеет вид 14□, окончательный результат — 1□□3.

37 · 9 = 333, поэтому цифра единиц множителя 9. 37 · 4 = 148 — вторая промежуточная строка. Получаем 333 + 1480 = 1813; второй множитель 49.

Ответ: 37 · 49 = 1813.

г) Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы письменное умножение было выполнено верно. Сохраните все промежуточные произведения. 63 · □□ = 3654. Восстановите множитель и промежуточные строки.

Второй множитель 3654 : 63 = 58. Промежуточные произведения: 63 · 8 = 504 и 63 · 5 = 315. С учётом десятков: 504 + 3150 = 3654.

Ответ: 63 · 58 = 3654.

а) 297 · 5 · 2

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 × 2 = 10.
2. 297 × 10 = 2 970.

Ответ: 2 970.

б) 5 · 4 · 2222

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 × 4 = 20.
2. 20 × 2 222 = 44 440.

Ответ: 44 440.

в) 4 · 91 · 25

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 4 × 25 = 100.
2. 100 × 91 = 9 100.

Ответ: 9 100.

г) 40 · 24 · 250 · 5

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 40 × 250 = 10 000.
2. 24 × 5 = 120.
3. 10 000 × 120 = 1 200 000.

Ответ: 1 200 000.

а) 50 · (2 · 898)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 50 × 2 = 100.
2. 100 × 898 = 89 800.

Ответ: 89 800.

б) (207 · 2) · 25

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 2 × 25 = 50.
2. 207 × 50 = 10 350.

Ответ: 10 350.

в) 4 · (125 · 90)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 4 × 125 = 500.
2. 500 × 90 = 45 000.

Ответ: 45 000.

г) (607 · 8) · 125

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 8 × 125 = 1 000.
2. 607 × 1 000 = 607 000.

Ответ: 607 000.

1) (12 · 30) · 25 = 360 · 25 = 9000 кусков. 2) 12 · (30 · 25) = 12 · 750 = 9000 кусков.

Ответ: 9000 кусков мела.

За день изготовляют 12 + 15 = 27 дверей. Через 3 дня останется 216 − 27 · 3 = 135 дверей; через 5 дней — 216 − 27 · 5 = 81 дверь; через 8 дней — 216 − 27 · 8 = 0 дверей.

Ответ: через 3 дня — 135 дверей; через 5 дней — 81 дверь; через 8 дней заказ выполнен.

(18 + 15 + 24) · (120 + 120 − 20) = 57 · 220 = 12540 г = 12 кг 540 г лака.

Ответ: 12 кг 540 г лака.

1) Составьте выражение для решения задачи и вычислите его значение. Купили 4 кг яблок по 86 р. за килограмм и 3 кг груш по 137 р. за килограмм. Какова стоимость покупки?

4 · 86 + 3 · 137 = 755 р.

Ответ: 755 р.

2) Составьте выражение для решения задачи и вычислите его значение. Контейнер вместе с семью холодильниками имеет массу 1 т. Один холодильник весит 90 кг. Найдите массу пустого контейнера.

1000 − 7 · 90 = 370 кг — масса пустого контейнера.

Ответ: 370 кг.

а) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 50 · 18;

50 · 18 = 900 кг — картофель;

Ответ: 50 · 18 = 900 кг — картофель.

б) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 30 · 15;

30 · 15 = 450 кг — морковь;

Ответ: 30 · 15 = 450 кг — морковь.

в) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 18 − 15;

18 − 15 = 3 — на столько больше мешков картофеля;

Ответ: 18 − 15 = 3 — на столько больше мешков картофеля.

г) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 50 − 30;

50 − 30 = 20 кг — на столько тяжелее мешок картофеля;

Ответ: 50 − 30 = 20 кг — на столько тяжелее мешок картофеля.

д) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 50 · 18 + 30 · 15;

900 + 450 = 1350 кг — весь урожай;

Ответ: 900 + 450 = 1350 кг — весь урожай.

е) На ферме собрали 18 мешков картофеля по 50 кг и 15 мешков моркови по 30 кг. Объясните, что означает выражение. 50 · 18 − 30 · 15.

900 − 450 = 450 кг — на столько больше картофеля, чем моркови.

Ответ: 900 − 450 = 450 кг — на столько больше картофеля, чем моркови.

а) (421 − 287) · 8

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 421 − 287 = 134.
2. 134 × 8 = 1 072.

Ответ: 1 072.

б) 27 · 75 − 34 · 43

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 27 × 75 = 2 025.
2. 34 × 43 = 1 462.
3. 2 025 − 1 462 = 563.

Ответ: 563.

в) 118 · 24+128 · 25

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 118 × 24 = 2 832.
2. 128 × 25 = 3 200.
3. 2 832 + 3 200 = 6 032.

Ответ: 6 032.

г) 43 · 32 · 35

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 43 × 32 = 1 376.
2. 1 376 × 35 = 48 160.

Ответ: 48 160.

д) (427 − 389) · (56+105)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 427 − 389 = 38.
2. 56 + 105 = 161.
3. 38 × 161 = 6 118.

Ответ: 6 118.

е) (2103+1937 − 3041) · 21

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 2 103 + 1 937 = 4 040.
2. 4 040 − 3 041 = 999.
3. 999 × 21 = 20 979.

Ответ: 20 979.

а) Запишите произведение двух указанных выражений. 6 и a;

Составные множители заключаем в скобки. Между числом и буквой или между скобками знак умножения можно опустить.

6a;

Ответ: 6a.

б) Запишите произведение двух указанных выражений. 23 + a и 18;

Составные множители заключаем в скобки. Между числом и буквой или между скобками знак умножения можно опустить.

(23 + a) · 18;

Ответ: (23 + a) · 18.

в) Запишите произведение двух указанных выражений. 52 − x и 82 + y;

Составные множители заключаем в скобки. Между числом и буквой или между скобками знак умножения можно опустить.

(52 − x)(82 + y);

Ответ: (52 − x)(82 + y).

г) Запишите произведение двух указанных выражений. a + b и 2c.

Составные множители заключаем в скобки. Между числом и буквой или между скобками знак умножения можно опустить.

(a + b) · 2c.

Ответ: (a + b) · 2c.

а) Назовите множители в произведении. 4x;

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

4 и x;

Ответ: 4 и x.

б) Назовите множители в произведении. 5(x − y);

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

5 и (x − y);

Ответ: 5 и (x − y).

в) Назовите множители в произведении. 12ab;

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

12, a, b;

Ответ: 12, a, b.

г) Назовите множители в произведении. (x + a) · 17;

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

(x + a) и 17;

Ответ: (x + a) и 17.

д) Назовите множители в произведении. (m + a)(k − 2);

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

(m + a) и (k − 2);

Ответ: (m + a) и (k − 2).

е) Назовите множители в произведении. 10x(m + 2a).

Множители — выражения, соединённые умножением. Выражение внутри скобок здесь является одним множителем.

10, x, (m + 2a).

Ответ: 10, x, (m + 2a).

а) Запишите выражение. Произведение чисел 2 и b;

Определяем последнее действие по словам «произведение», «разность», «сумма». Если сумма или разность служит множителем, заключаем её в скобки.

2b;

Ответ: 2b.

б) Запишите выражение. удвоенная разность a и b;

Определяем последнее действие по словам «произведение», «разность», «сумма». Если сумма или разность служит множителем, заключаем её в скобки.

2(a − b);

Ответ: 2(a − b).

в) Запишите выражение. разность произведения 5 и x и произведения 9 и y;

Определяем последнее действие по словам «произведение», «разность», «сумма». Если сумма или разность служит множителем, заключаем её в скобки.

5x − 9y;

Ответ: 5x − 9y.

г) Запишите выражение. произведение числа c и суммы a и b.

Определяем последнее действие по словам «произведение», «разность», «сумма». Если сумма или разность служит множителем, заключаем её в скобки.

c(a + b).

Ответ: c(a + b).

а) Прочитайте выражение словами. (b − c) · a;

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Произведение разности b и c и числа a.

Ответ: Произведение разности b и c и числа a.

б) Прочитайте выражение словами. 21 · (4 + d);

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Произведение 21 и суммы 4 и d.

Ответ: Произведение 21 и суммы 4 и d.

в) Прочитайте выражение словами. 4(a + b);

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Произведение 4 и суммы a и b.

Ответ: Произведение 4 и суммы a и b.

г) Прочитайте выражение словами. 9(a − b);

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Произведение 9 и разности a и b.

Ответ: Произведение 9 и разности a и b.

д) Прочитайте выражение словами. ab − 3c;

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Разность произведений a и b и 3 и c.

Ответ: Разность произведений a и b и 3 и c.

е) Прочитайте выражение словами. 2a + cd.

Сначала называем последнее действие, затем его компоненты: например, «произведение числа и суммы» или «разность произведений».

Сумма произведений 2 и a и c и d.

Ответ: Сумма произведений 2 и a и c и d.

а) Найдите значение выражения при каждом указанном значении буквы. 5a + 650 при a = 13 и a = 15;

5 · 13 + 650 = 715; 5 · 15 + 650 = 725.

Ответ: 715; 725.

б) Найдите значение выражения при каждом указанном значении буквы. 16(b − 13) при b = 13 и b = 28.

16(13 − 13) = 0; 16(28 − 13) = 240.

Ответ: 0; 240.

3x + 2 · 50 = 3x + 100 км. При x = 45: 235 км; при x = 55: 265 км; при x = 60: 280 км.

Ответ: 3x + 100 км; соответственно 235 км, 265 км, 280 км.

а) Составьте выражение по условию задачи и вычислите его значения. Для поездки детей в лагерь заказали 7 автобусов, по x детей в каждом. Сколько детей поехало в лагерь при x = 25 и x = 42?

7x детей: при x = 25 — 175; при x = 42 — 294.

Ответ: 7x; 175 детей и 294 ребёнка.

б) Составьте выражение по условию задачи и вычислите его значения. Грузовик перевозит за рейс k т овощей. Сколько тонн он перевезёт за 15 рейсов при k = 4 и k = 25?

15k т: при k = 4 — 60 т; при k = 25 — 375 т.

Ответ: 15k; 60 т и 375 т.

а) Арбуз стоит n р., дыня — m р. Объясните смысл выражения. 4n;

Стоимость 4 арбузов;

Ответ: Стоимость 4 арбузов.

б) Арбуз стоит n р., дыня — m р. Объясните смысл выражения. 5m;

стоимость 5 дынь;

Ответ: стоимость 5 дынь.

в) Арбуз стоит n р., дыня — m р. Объясните смысл выражения. 6n + 3m;

стоимость 6 арбузов и 3 дынь;

Ответ: стоимость 6 арбузов и 3 дынь.

г) Арбуз стоит n р., дыня — m р. Объясните смысл выражения. 14n − 3m;

на сколько стоимость 14 арбузов больше стоимости 3 дынь (при достаточной стоимости арбузов);

Ответ: на сколько стоимость 14 арбузов больше стоимости 3 дынь (при достаточной стоимости арбузов).

д) Арбуз стоит n р., дыня — m р. Объясните смысл выражения. 5(n + m).

стоимость 5 арбузов и 5 дынь.

Ответ: стоимость 5 арбузов и 5 дынь.

а) Составьте задачу по выражению и решите её. (85 + 65) · 4;

В каждом из 4 наборов 85 белых и 65 цветных листов. Всего (85 + 65) · 4 = 600 листов.

Ответ: 600.

б) Составьте задачу по выражению и решите её. (75 − 50) · 3;

Из каждого из 3 ящиков с 75 яблоками взяли по 50. Осталось (75 − 50) · 3 = 75 яблок.

Ответ: 75.

в) Составьте задачу по выражению и решите её. 31 · 5 + 39 · 5;

Купили 5 ручек по 31 р. и 5 карандашей по 39 р. Стоимость 31 · 5 + 39 · 5 = 350 р.

Ответ: 350.

г) Составьте задачу по выражению и решите её. 93 · 6 − 71 · 5.

В первый день продали 6 коробок по 93 конфеты, во второй — 5 по 71. В первый день продали на 93 · 6 − 71 · 5 = 203 конфеты больше.

Ответ: 203.

Для подъёма есть 6 вариантов, для спуска после каждого подъёма — 5 других лестниц. 6 · 5 = 30 способов.

Ответ: 30 способов.

а) Сравните произведения и объясните свой вывод. Какое произведение меньше: 43 · 3 или 43 · 4?

43 · 3 < 43 · 4: во втором произведении на одно слагаемое 43 больше.

Ответ: 43 · 3 < 43 · 4.

б) Сравните произведения и объясните свой вывод. Объясните, почему 185 · 13 > 180 · 9. Какой общий вывод можно сделать?

185 · 13 > 180 · 13 > 180 · 9. При увеличении положительного множителя произведение увеличивается; здесь увеличены оба множителя.

Ответ: 185 · 13 > 180 · 9; увеличение положительных множителей увеличивает произведение.

73 · 51 > 59 · 51 > 59 · 23 > 13 · 23 > 13 · 12 > 9 · 12. В каждой соседней паре один положительный множитель одинаков, а другой уменьшается.

Ответ: 73 · 51 > 59 · 51 > 59 · 23 > 13 · 23 > 13 · 12 > 9 · 12.

а) Докажите двойное неравенство. 30 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50;

30 < 33 < 40 и 40 < 45 < 50, поэтому 30 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50.

Ответ: неравенство верно.

б) Докажите двойное неравенство. 400 · 700 < 404 · 732 < 500 · 800;

Аналогично 400 < 404 < 500, 700 < 732 < 800.

Ответ: неравенство верно.

в) Докажите двойное неравенство. 1500 < 36 · 53 < 2400;

30 · 50 = 1500 < 36 · 53 < 40 · 60 = 2400.

Ответ: неравенство верно.

г) Докажите двойное неравенство. 45000 < 91 · 552 < 59001.

90 · 500 = 45000 < 91 · 552 < 100 · 590 = 59000 < 59001.

Ответ: неравенство верно.

S = 18 · 12 = 216 см²; P = 2(18 + 12) = 60 см.

Ответ: площадь 216 см²; периметр 60 см.

а) Решите задачу. В ящике 9 коробок, в каждой 8 упаковок мячей, в каждой упаковке 5 мячей. Сколько мячей в ящике? Запишите выражение двумя способами.

(9 · 8) · 5 = 72 · 5 = 360 мячей; иначе 9 · (8 · 5) = 9 · 40 = 360.

Ответ: 360 мячей.

б) Решите задачу. Подсолнухи посадили в 5 рядов, по 3 лунки в ряду. В каждую лунку положили 2 семечка. Сколько семечек использовали?

5 · 3 · 2 = 30 семечек.

Ответ: 30 семечек.

75 · 4 = 300 км.

Ответ: 300 км.

а) 83 − 39 → :4 → ·7 → +23

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 83 − 39 = 44.
2. 44 : 4 = 11.
3. 11 × 7 = 77.
4. 77 + 23 = 100.

Ответ: 100.

б) 94 − 19 → :25 → ·15 → +55

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 94 − 19 = 75.
2. 75 : 25 = 3.
3. 3 × 15 = 45.
4. 45 + 55 = 100.

Ответ: 100.

в) 47 + 25 → :18 → ·12 → −19

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 47 + 25 = 72.
2. 72 : 18 = 4.
3. 4 × 12 = 48.
4. 48 − 19 = 29.

Ответ: 29.

г) 71 + 19 → :15 → ·13 → −28

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 71 + 19 = 90.
2. 90 : 15 = 6.
3. 6 × 13 = 78.
4. 78 − 28 = 50.

Ответ: 50.

д) 46 + 18 → :16 → ·25 → −50

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 46 + 18 = 64.
2. 64 : 16 = 4.
3. 4 × 25 = 100.
4. 100 − 50 = 50.

Ответ: 50.

а) Восстановите пропущенные числа в замкнутой цепочке вычислений, двигаясь по стрелкам. Начните с 57; затем выполните +12, :3, −16, ·14, :2 и +8.

По стрелкам: 57 → 69 → 23 → 7 → 98 → 49 → 57 (действия +12, :3, −16, ·14, :2, +8).

Ответ: 57 → 69 → 23 → 7 → 98 → 49 → 57.

б) Восстановите пропущенные числа в замкнутой цепочке вычислений, двигаясь по стрелкам. Начните с 25; затем выполните ·4, −79, ·3, −31, :4 и +17.

25 → 100 → 21 → 63 → 32 → 8 → 25 (·4, −79, ·3, −31, :4, +17).

Ответ: 25 → 100 → 21 → 63 → 32 → 8 → 25.

а) Подберите корни уравнения. x + x = 48;

2x = 48, x = 24.

Ответ: x = 24.

б) Подберите корни уравнения. y + y + y + 64 = 64;

3y + 64 = 64, y = 0.

Ответ: y = 0.

в) Подберите корни уравнения. 2z − 1 = z + 3.

2z − 1 = z + 3, z = 4; проверка: 8 − 1 = 4 + 3.

Ответ: z = 4.

а) Установите закономерность и найдите число вместо звёздочки. В первом круге слева 8, справа 3, снизу 5. Во втором круге слева 14, справа 8, снизу звёздочка.

Левое число равно сумме двух других: 8 = 3 + 5, поэтому 14 = 8 + 6; звёздочка — 6.

Ответ: 6.

б) Установите закономерность и найдите число вместо звёздочки. В первом круге слева 16, справа 8, снизу 2. Во втором круге слева 60, справа звёздочка, снизу 4.

Левое число равно произведению двух других: 16 = 8 · 2, поэтому 60 = 15 · 4; звёздочка — 15.

Ответ: 15.

а) Составьте условие задачи, решаемой с помощью уравнения. y + 25 = 38;

У девочки было y наклеек, ей подарили 25, стало 38. Сколько было? y + 25 = 38, y = 13.

Ответ: например, задача о 13 наклейках.

б) Составьте условие задачи, решаемой с помощью уравнения. 32 − y = 18.

В коробке было 32 карандаша, взяли y, осталось 18. Сколько взяли? 32 − y = 18, y = 14.

Ответ: например, задача о 14 взятых карандашах.

Первая цифра имеет 4 варианта (не нуль), вторая — 4 оставшиеся цифры, третья — 3, четвёртая — 2. Всего 4 · 4 · 3 · 2 = 96 чисел.

Ответ: 96 чисел.

а) Среди чисел 2, 0, 6, 12, 19 найдите все корни уравнения. x + 28 = 40;

x = 40 − 28 = 12.

Ответ: 12.

б) Среди чисел 2, 0, 6, 12, 19 найдите все корни уравнения. 19 + x = 19 − x;

19 + x = 19 − x только при x = 0.

Ответ: 0.

в) Среди чисел 2, 0, 6, 12, 19 найдите все корни уравнения. 30 + x = 34 − x;

30 + x = 34 − x, 2x = 4, x = 2.

Ответ: 2.

г) Среди чисел 2, 0, 6, 12, 19 найдите все корни уравнения. 13 + x + 4 = 20 + x − 3.

13 + x + 4 = 20 + x − 3: обе стороны равны 17 + x, подходят все предложенные числа — 2, 0, 6, 12, 19.

Ответ: все предложенные числа: 2, 0, 6, 12, 19.

Отрезок моделируют край линейки или натянутая нить между двумя точками. Прямую приближённо моделируют линия горизонта, прямой участок дороги, мысленно продолженный в обе стороны. Реальные предметы конечны, а математическая прямая бесконечна.

Ответ: например, край линейки моделирует отрезок; прямой участок дороги, мысленно продолженный в обе стороны, — прямую.

Сгруппируем соседние числа: (35 − 33) + (31 − 29) + … + (3 − 1). Это 9 разностей по 2, сумма равна 18.

Ответ: 18.

а) Найдите корень уравнения. 119 + z = 246 − 78;

119 + z = 168, z = 49;

Ответ: z = 49.

б) Найдите корень уравнения. 135 + z − 75 = 85;

60 + z = 85, z = 25;

Ответ: z = 25.

в) Найдите корень уравнения. 123 − z − 33 = 44;

90 − z = 44, z = 46;

Ответ: z = 46.

г) Найдите корень уравнения. 58 + z + 79 = 167.

137 + z = 167, z = 30.

Ответ: z = 30.

а) При каком значении буквы равенство верно? 43 + m = 43;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

m = 0;

Ответ: m = 0.

б) При каком значении буквы равенство верно? n + 25 = 25;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

n = 0;

Ответ: n = 0.

в) При каком значении буквы равенство верно? 57 − x = 57;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

x = 0;

Ответ: x = 0.

г) При каком значении буквы равенство верно? 108 − y = 0;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

y = 108;

Ответ: y = 108.

д) При каком значении буквы равенство верно? z + 0 = 0;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

z = 0;

Ответ: z = 0.

е) При каком значении буквы равенство верно? 0 − t = 0;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

t = 0;

Ответ: t = 0.

ж) При каком значении буквы равенство верно? a − a = 0;

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

любое допустимое a, поскольку a − a = 0;

Ответ: любое допустимое a, поскольку a − a = 0.

з) При каком значении буквы равенство верно? c + c = 0.

Прибавление нуля и вычитание нуля сохраняют число; разность равных чисел равна нулю. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при нулевых слагаемых.

c = 0.

Ответ: c = 0.

1) Решите задачу с помощью уравнения. Для пирога хозяйка использовала 11 яблок, затем купила ещё 18 яблок. После этого у неё стало 42 яблока. Сколько яблок у неё было первоначально?

x − 11 + 18 = 42, x = 42 − 18 + 11 = 35 яблок.

Ответ: 35 яблок.

2) Решите задачу с помощью уравнения. На парковке было 23 автомобиля. Несколько автомобилей уехали, а 9 автомобилей припарковались. После этого на парковке стало 17 автомобилей. Сколько автомобилей уехало?

23 − x + 9 = 17, x = 23 + 9 − 17 = 15 автомобилей.

Ответ: 15 автомобилей.

1) Упростите выражение. (206 + a) − 77;

Объединяем числовые части выражения, сохраняя знак перед каждой из них: например, (206 + a) − 77 = a + (206 − 77).

a + 129;

Ответ: a + 129.

2) Упростите выражение. (189 + c) − 63;

Объединяем числовые части выражения, сохраняя знак перед каждой из них: например, (206 + a) − 77 = a + (206 − 77).

c + 126;

Ответ: c + 126.

3) Упростите выражение. (z − 27) + 74;

Объединяем числовые части выражения, сохраняя знак перед каждой из них: например, (206 + a) − 77 = a + (206 − 77).

z + 47;

Ответ: z + 47.

4) Упростите выражение. (t − 39) + 118.

Объединяем числовые части выражения, сохраняя знак перед каждой из них: например, (206 + a) − 77 = a + (206 − 77).

t + 79. Числовые слагаемые объединяем, учитывая знаки.

Ответ: t + 79.

а) 3540 − 6270 : 110+140

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 6 270 : 110 = 57.
2. 3 540 − 57 = 3 483.
3. 3 483 + 140 = 3 623.

Ответ: 3 623.

б) 2130+9010 : 170 − 270

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 9 010 : 170 = 53.
2. 2 130 + 53 = 2 183.
3. 2 183 − 270 = 1 913.

Ответ: 1 913.

а) 407 + 407 + 407 + 407 + 407

407 × 5 = 2 035.

Ответ: 2 035.

б) 331 + 331 + 331 + 728 + 728

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 331 × 3 = 993.
2. 728 × 2 = 1 456.
3. 993 + 1 456 = 2 449.

Ответ: 2 449.

а) Представьте произведение в виде суммы. 75 · 6;

Произведение a · n означает сумму n слагаемых, равных a; составное слагаемое сохраняем в скобках.

75 + 75 + 75 + 75 + 75 + 75;

Ответ: 75 + 75 + 75 + 75 + 75 + 75.

б) Представьте произведение в виде суммы. k · 7;

Произведение a · n означает сумму n слагаемых, равных a; составное слагаемое сохраняем в скобках.

k + k + k + k + k + k + k;

Ответ: k + k + k + k + k + k + k.

в) Представьте произведение в виде суммы. (a + b) · 3;

Произведение a · n означает сумму n слагаемых, равных a; составное слагаемое сохраняем в скобках.

(a + b) + (a + b) + (a + b);

Ответ: (a + b) + (a + b) + (a + b).

г) Представьте произведение в виде суммы. (c − 2d) · 5.

Произведение a · n означает сумму n слагаемых, равных a; составное слагаемое сохраняем в скобках.

(c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d).

Ответ: (c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d) + (c − 2d).

24 · 350 · 150 = 1260000 г = 1260 кг.

Ответ: 1260 кг.

NP = 24 · 2 = 48 см; MP = 103 − 24 − 48 = 31 см.

Ответ: MP = 31 см.

62 · 10 + 65 · 8 = 620 + 520 = 1140 пачек.

Ответ: 1140 пачек.

а) 54 · 36

54 × 36 = 1 944.

Ответ: 1 944.

б) 47 · 75

47 × 75 = 3 525.

Ответ: 3 525.

в) 325 · 38

325 × 38 = 12 350.

Ответ: 12 350.

г) 138 · 27

138 × 27 = 3 726.

Ответ: 3 726.

д) 302 · 405

302 × 405 = 122 310.

Ответ: 122 310.

е) 120 · 3500

120 × 3 500 = 420 000.

Ответ: 420 000.

ж) 1207 · 6322

1 207 × 6 322 = 7 630 654.

Ответ: 7 630 654.

з) 4006 · 4050

4 006 × 4 050 = 16 224 300.

Ответ: 16 224 300.

а) Решите задачу на движение. От автостанции одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса со скоростями 65 км/ч и 75 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

Скорость удаления 65 + 75 = 140 км/ч; через 4 ч расстояние 140 · 4 = 560 км.

Ответ: 560 км.

б) Решите задачу на движение. Сивка-Бурка скакал 6 ч со скоростью 24 км/ч. Сколько времени займёт обратный путь по той же дороге, если его скорость будет на 8 км/ч меньше?

Путь 24 · 6 = 144 км; обратная скорость 24 − 8 = 16 км/ч; время 144 : 16 = 9 ч.

Ответ: 9 ч.

а) Составьте задачу по выражению. 110 + 35 · 3;

Было 110 тетрадей, привезли 3 коробки по 35. Стало 110 + 35 · 3 = 215.

Ответ: 215.

б) Составьте задачу по выражению. 186 − 57 · 2;

Было 186 яблок, продали 2 ящика по 57. Осталось 186 − 57 · 2 = 72.

Ответ: 72.

в) Составьте задачу по выражению. 15 · 4 + 12 · 4.

Купили 4 ручки по 15 р. и 4 карандаша по 12 р.; стоимость 15 · 4 + 12 · 4 = 108 р.

Ответ: 108.

а) Не вычисляя произведения, сравните их значения с помощью знака >. 245 · 678 и 332 · 713;

332 · 713 > 245 · 678;

Ответ: 332 · 713 > 245 · 678.

б) Не вычисляя произведения, сравните их значения с помощью знака >. 8983 · 1142 и 6394 · 998.

8983 · 1142 > 6394 · 998. В каждом неравенстве оба множителя большего произведения больше соответствующих множителей другого.

Ответ: 8983 · 1142 > 6394 · 998.

183 · 181 > 183 · 104 > 85 · 104 > 85 · 86 > 39 · 86 > 39 · 75. Для соседних пар достаточно сравнить один множитель при одинаковом втором.

Ответ: 183 · 181 > 183 · 104 > 85 · 104 > 85 · 86 > 39 · 86 > 39 · 75.

а) (1212 − 849+3781) : 56

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 1 212 − 849 = 363.
2. 363 + 3 781 = 4 144.
3. 4 144 : 56 = 74.

Ответ: 74.

б) (14844 − 2396 − 5566) : 93

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 14 844 − 2 396 = 12 448.
2. 12 448 − 5 566 = 6 882.
3. 6 882 : 93 = 74.

Ответ: 74.

а) Найдите корень уравнения. (x + 15) − 8 = 17;

x + 15 = 25, x = 10;

Ответ: x = 10.

б) Найдите корень уравнения. (24 + x) − 21 = 10;

24 + x = 31, x = 7;

Ответ: x = 7.

в) Найдите корень уравнения. (45 − y) + 18 = 58;

45 − y = 40, y = 5;

Ответ: y = 5.

г) Найдите корень уравнения. (y − 35) + 12 = 32.

y − 35 = 20, y = 55.

Ответ: y = 55.

По диаграмме: январь 604 м³, февраль 570 м³, март 691 м³. (604 + 570 + 691) · 163 = 1865 · 163 = 303995 р.

Ответ: 303995 р.

В верхнем ряду 5 шестёрок и 5 семёрок, в нижнем также 5 и 5. Всего 10 шестёрок и 10 семёрок. Считайте слева направо, отдельно увеличивая два счётчика.

Ответ: 10 шестёрок и 10 семёрок.

1) 18 · 9 = 162. 2) (18 + 9)(18 − 9) = 27 · 9 = 243. 3) Например, 162 = 2 · 81 = 3 · 54. 4) а) 14 · 15 = 15 · 14; б) 2 · 3 · 4 · 5 < 6 · 21 (120 < 126); в) 3(4 + 12) = (4 + 8) · 4 (48 = 48); г) 7x > 0 · x при x > 0, при x = 0 равны. 5) а) 23 · 46 > 38 · 23, поскольку 46 > 38; б) 438 · 198 < 605 · 198, поскольку 438 < 605.

1) а) Корзиночки: 6 · 120 = 720 р.; б) безе: 12 · 82 = 984 р.; в) шоколадные пирожные: 8 · 105 = 840 р.; г) напитки: 6 · 54 + 6 · 70 = 744 р.; д) за шоколадные пирожные заплатили на 840 − 744 = 96 р. больше; е) весь заказ 720 + 984 + 840 + 744 = 3288 р. 2) а) (8 · 125) · 34 = 34000; б) (25 · 4) · 760 = 76000; в) (20 · 50) · 53 = 53000; г) (800 · 8) · 25 = 160000. 3) а) 3240; б) 1080; в) 43460; г) 63210. 4) а) x − 7 = 16, x = 23; б) x + 24 = 27, x = 3; в) 56 − x = 38, x = 18; г) 15 + x = 86, x = 71. 5) Для 50 л бензина стоимость 50x р.; а) 50 · 47 = 2350 р.; б) 50 · 52 = 2600 р.