ГДЗ: Параграф 14 / Математика 5 класс. Часть 1

Целым неотрицательным числом, меньшим делителя: 0 ≤ r < b.

При делении натуральных чисел с остатком дальнейшее целое частное не получается, поскольку остаток меньше делителя.

Умножить делитель на неполное частное и прибавить остаток: a = bq + r.

Когда остаток равен нулю.

а) Выполните деление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток. 37 : 5;

37 = 5 · 7 + 2, причём 2 < 5. Делимое 37, делитель 5, неполное частное 7, остаток 2.

Ответ: 7 (остаток 2).

б) Выполните деление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток. 90 : 14;

90 = 14 · 6 + 6, причём 6 < 14. Делимое 90, делитель 14, неполное частное 6, остаток 6.

Ответ: 6 (остаток 6).

в) Выполните деление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток. 120 : 11;

120 = 11 · 10 + 10, причём 10 < 11. Делимое 120, делитель 11, неполное частное 10, остаток 10.

Ответ: 10 (остаток 10).

г) Выполните деление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток. 138 : 35.

138 = 35 · 3 + 33, причём 33 < 35. Делимое 138, делитель 35, неполное частное 3, остаток 33.

Ответ: 3 (остаток 33).

Не может быть остатком 8 (вариант в), поскольку остаток меньше 7. Числа 4, 0 и 5 могут быть остатками.

Ответ: число 8 не может быть остатком.

100 : 14 = 7 (ост. 2). Можно изготовить 7 парников, останется 2 м плёнки.

Ответ: 7 парников; останется 2 м плёнки.

Всего 20 · 10 = 200 тюльпанов. 200 : 17 = 11 (ост. 13). Получится 11 букетов, останется 13 тюльпанов.

Ответ: 11 букетов; останется 13 тюльпанов.

Требуется 43 · 32 = 1376 т нефти. 1376 : 60 = 22 (ост. 56), поэтому нужны 23 полные железнодорожные цистерны. В них 23 · 60 = 1380 т; после заполнения автоцистерн останется 1380 − 1376 = 4 т нефти.

Ответ: 23 железнодорожные цистерны; останется 4 т нефти.

Используем формулу a = bq + r, где 0 ≤ r < b.

Первая строка: 83 · 8 = 664, 746 − 664 = 82, поэтому q = 8, r = 82. Вторая: b = (286 − 16) : 10 = 27. Третья: a = 76 · 25 + 13 = 1913.

Ответ: q = 8, r = 82; b = 27; a = 1913.

Так как 58 = 3b + r и 0 ≤ r < b, выполняется 3b ≤ 58 < 4b. Поэтому b может принимать только значения 15, 16, 17, 18, 19. Для каждого вычисляем r = 58 − 3b.

Ответ: делители 15, 16, 17, 18, 19; остатки 13, 10, 7, 4, 1. Других случаев нет.

Пользуемся условиями a = bq + r и 0 ≤ r < b. Следовательно, qb ≤ a < (q + 1)b. По этому неравенству перебираем возможные целые b и находим r = a − bq.

Ответ: по столбцам возможны 2, 3, 3, 3 и 1 пары; все пары приведены в таблице.

а) Найдите остаток от деления. 548 на 9;

548 : 9 = 60 (ост. 8); проверка: 9 · 60 + 8 = 548.

Ответ: 8.

б) Найдите остаток от деления. 371 на 6;

371 : 6 = 61 (ост. 5); проверка: 6 · 61 + 5 = 371.

Ответ: 5.

в) Найдите остаток от деления. 293 на 10;

293 : 10 = 29 (ост. 3); проверка: 10 · 29 + 3 = 293.

Ответ: 3.

г) Найдите остаток от деления. 100000 на 3;

100000 : 3 = 33333 (ост. 1); проверка: 3 · 33333 + 1 = 100000.

Ответ: 1.

д) Найдите остаток от деления. 224 на 100;

224 : 100 = 2 (ост. 24); проверка: 100 · 2 + 24 = 224.

Ответ: 24.

е) Найдите остаток от деления. 6140 на 78;

6140 : 78 = 78 (ост. 56); проверка: 78 · 78 + 56 = 6140.

Ответ: 56.

ж) Найдите остаток от деления. 10744 на 56;

10744 : 56 = 191 (ост. 48); проверка: 56 · 191 + 48 = 10744.

Ответ: 48.

з) Найдите остаток от деления. 82400 на 2700;

82400 : 2700 = 30 (ост. 1400); проверка: 2700 · 30 + 1400 = 82400.

Ответ: 1400.

и) Найдите остаток от деления. 70696 на 131.

70696 : 131 = 539 (ост. 87); проверка: 131 · 539 + 87 = 70696.

Ответ: 87.

При делении на b возможны b остатков: 0, 1, …, b − 1. На 3: 0, 1, 2 (3 остатка); на 5: 0–4 (5); на 10: 0–9 (10); на 15: 0–14 (15); на 200: 0–199 (200).

Ответ: соответственно 3, 5, 10, 15 и 200 остатков; от 0 до числа, на единицу меньшего делителя.

а) Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток; проверьте равенство. 2791 = 36 · 76 + 55;

Делимое 2791, делитель 76, неполное частное 36, остаток 55: 36 · 76 + 55 = 2736 + 55 = 2791, 55 < 76.

Ответ: делимое 2791, делитель 76, частное 36, остаток 55.

б) Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток; проверьте равенство. 4897 = 68 · 71 + 69;

Делимое 4897, делитель 71, неполное частное 68, остаток 69: 68 · 71 + 69 = 4828 + 69 = 4897, 69 < 71.

Ответ: делимое 4897, делитель 71, частное 68, остаток 69.

в) Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток; проверьте равенство. 4986 = 4 · 1000 + 986.

Делимое 4986, делитель 1000, неполное частное 4, остаток 986: 4 · 1000 + 986 = 4986, 986 < 1000.

Ответ: делимое 4986, делитель 1000, частное 4, остаток 986.

а) Назовите несколько чисел с указанным свойством. При делении на 20 получается остаток 5;

25, 45, 65, 85: имеют вид 20q + 5.

Ответ: например, 25, 45, 65, 85.

б) Назовите несколько чисел с указанным свойством. при делении на 25 получается остаток 13.

38, 63, 88, 113: имеют вид 25q + 13. Подходят также 5 и 13 соответственно (при q = 0).

Ответ: например, 38, 63, 88, 113.

Числа имеют вид 14q + 3. При q = 6 получаем 87, ещё не трёхзначное; при q = 7 — 101. Ответ: 101.

Ответ: 101.

a = 43 · 0 + 17 = 17.

Ответ: 17.

Максимальная: 6615 : 5 = 1323 м/мин. Средняя: 6615 : 7 = 945 м/мин (приблизительно, так как время 7 мин дано приближённо).

Ответ: максимальная 1323 м/мин; средняя примерно 945 м/мин.

160 : 12 = 13 (ост. 4). Тринадцать ящиков вмещают 156 кг, для оставшихся 4 кг нужен ещё один. Ответ: 14 ящиков.

Ответ: 14 ящиков.

Израсходовано 250 − 75 = 175 р. = 17500 к. Минута стоит 250 к.; 17500 : 250 = 70 мин.

Ответ: 70 мин.

Даже при расходе на 25 м² три пачки покроют только 75 м², что меньше 78 м². Четырёх пачек хватит и при расходе на 20 м²: 4 · 20 = 80 м². Нужно 4 пачки.

Ответ: 4 пачки.

Всего 296 + 84 = 380 человек. 380 : 70 = 5 (ост. 30). Нужно 6 шлюпок.

Ответ: 6 шлюпок.

а) 100 − 4 → :16 → ·12 → +28

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 100 − 4 = 96.
2. 96 : 16 = 6.
3. 6 × 12 = 72.
4. 72 + 28 = 100.

Ответ: 100.

б) 75 − 29 → :23 → ·18 → :36

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 75 − 29 = 46.
2. 46 : 23 = 2.
3. 2 × 18 = 36.
4. 36 : 36 = 1.

Ответ: 1.

в) 90 − 6 → :14 → +19 → ·3

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 90 − 6 = 84.
2. 84 : 14 = 6.
3. 6 + 19 = 25.
4. 25 × 3 = 75.

Ответ: 75.

г) 92 − 47 → :15 → +23 → ·13

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 92 − 47 = 45.
2. 45 : 15 = 3.
3. 3 + 23 = 26.
4. 26 × 13 = 338.

Ответ: 338.

д) 100 − 16 → :12 → +9 → ·3

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 100 − 16 = 84.
2. 84 : 12 = 7.
3. 7 + 9 = 16.
4. 16 × 3 = 48.

Ответ: 48.

а) Проверьте замкнутую цепочку вычислений, заполнив пустые кружки. Начальное число 10. По стрелкам выполните +15, ·3, :15, ·6, −16, :2, +13, −10.

По стрелкам: 10 → 25 → 75 → 5 → 30 → 14 → 7 → 20 → 10.

Ответ: 10 → 25 → 75 → 5 → 30 → 14 → 7 → 20 → 10.

б) Проверьте замкнутую цепочку вычислений, заполнив пустые кружки. Начальное число 90. По стрелкам выполните −45, :15, ·28, −12, :8, +27, :2, ·5.

90 → 45 → 3 → 84 → 72 → 9 → 36 → 18 → 90. Обе цепочки возвращаются к исходному числу.

Ответ: 90 → 45 → 3 → 84 → 72 → 9 → 36 → 18 → 90.

а) 8 · 25 · 18

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 8 × 25 = 200.
2. 200 × 18 = 3 600.

Ответ: 3 600.

б) 56 · 5 · 4

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 × 4 = 20.
2. 56 × 20 = 1 120.

Ответ: 1 120.

в) 250 · 47 · 4

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 250 × 4 = 1 000.
2. 1 000 × 47 = 47 000.

Ответ: 47 000.

г) 24 · 6 · 50

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 24 × 50 = 1 200.
2. 1 200 × 6 = 7 200.

Ответ: 7 200.

а) Разделите 10000 на 16. Используя полученный результат, выполните вычисление. 625 · 16;

Сначала 10000 : 16 = 625, следовательно, 625 · 16 = 10000. Остальные вычисления получаем увеличением одного из множителей или делимого в 10 либо в 100 раз.

625 · 16 = 10000;

Ответ: 10000.

б) Разделите 10000 на 16. Используя полученный результат, выполните вычисление. 100000 : 625;

Сначала 10000 : 16 = 625, следовательно, 625 · 16 = 10000. Остальные вычисления получаем увеличением одного из множителей или делимого в 10 либо в 100 раз.

100000 : 625 = 160;

Ответ: 160.

в) Разделите 10000 на 16. Используя полученный результат, выполните вычисление. 1000000 : 625;

Сначала 10000 : 16 = 625, следовательно, 625 · 16 = 10000. Остальные вычисления получаем увеличением одного из множителей или делимого в 10 либо в 100 раз.

1000000 : 625 = 1600;

Ответ: 1600.

г) Разделите 10000 на 16. Используя полученный результат, выполните вычисление. 160 · 6250.

Сначала 10000 : 16 = 625, следовательно, 625 · 16 = 10000. Остальные вычисления получаем увеличением одного из множителей или делимого в 10 либо в 100 раз.

160 · 6250 = (16 · 625) · 100 = 1000000.

Ответ: 1000000.

Наименьшее 102345: первая цифра — минимальная ненулевая, затем минимальные оставшиеся. Наибольшее 987654: выбираем шесть наибольших цифр по убыванию.

Ответ: 102345 и 987654.

Это зрительная иллюзия: отрезки MK и KL равны. Приложите линейку к точкам M, K, L, не учитывая концы стрелок, и сравните длины. Числовое значение измерения зависит от масштаба печати или экрана.

Ответ: MK = KL.

а) Расстояние между Землёй и Марсом меняется от 60 млн км до 390 млн км. Найдите время движения для каждого из этих расстояний. Сколько времени потребуется свету при скорости 300000 км/с?

60000000 : 300000 = 200 с = 3 мин 20 с; 390000000 : 300000 = 1300 с = 21 мин 40 с.

Ответ: 200 с и 1300 с (3 мин 20 с и 21 мин 40 с).

б) Расстояние между Землёй и Марсом меняется от 60 млн км до 390 млн км. Найдите время движения для каждого из этих расстояний. Сколько времени потребуется ракете при скорости 20 км/с?

60000000 : 20 = 3000000 с = 34 сут 17 ч 20 мин; 390000000 : 20 = 19500000 с = 225 сут 16 ч 40 мин.

Ответ: 3000000 с и 19500000 с (34 сут 17 ч 20 мин и 225 сут 16 ч 40 мин).

7 ч = 420 мин; 420 : 12 = 35 клиентов.

Ответ: 35 клиентов.

За день 2800 : 7 = 400 л. За 30 дней 400 · 30 = 12000 л, это 12000 : 200 = 60 бочек. Стоимость около 60 · 14 = 840 р.

Ответ: 60 бочек; около 840 р.

Мама старше Оли на 24 года, поэтому b = a + 24, а неизвестный возраст Оли находим как a = b − 24. Затем в каждом столбце делим возраст мамы на возраст Оли.

Ответ: заполненная таблица приведена выше.

а) Оля младше мамы на 24 года. Во сколько раз Оля была младше мамы, когда маме было 26 лет; 48 лет?

Когда маме 26 лет, Оле 26 − 24 = 2 года; отношение возрастов 26 : 2 = 13. Когда маме 48 лет, Оле 48 − 24 = 24 года; 48 : 24 = 2.

Ответ: в 13 раз; в 2 раза.

б) Мама старше Оли на 24 года. Во сколько раз мама была старше Оли, когда Оле было 4 года; 12 лет?

Когда Оле 4 года, маме 4 + 24 = 28 лет; 28 : 4 = 7. Когда Оле 12 лет, маме 12 + 24 = 36 лет; 36 : 12 = 3.

Ответ: в 7 раз; в 3 раза.

а) 34 · 27+1638 : 39

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 34 × 27 = 918.
2. 1 638 : 39 = 42.
3. 918 + 42 = 960.

Ответ: 960.

б) 32 · 37 − 3293 : 37

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 32 × 37 = 1 184.
2. 3 293 : 37 = 89.
3. 1 184 − 89 = 1 095.

Ответ: 1 095.

в) (321 − 267) · (361 − 215) : 219

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 321 − 267 = 54.
2. 361 − 215 = 146.
3. 54 × 146 = 7 884.
4. 7 884 : 219 = 36.

Ответ: 36.

г) (123+375) · 24 : (212 − 129)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 123 + 375 = 498.
2. 498 × 24 = 11 952.
3. 212 − 129 = 83.
4. 11 952 : 83 = 144.

Ответ: 144.

а) Выполните деление с остатком. 142934 на 35;

142934 : 35 = 4083 (ост. 29); проверка: 35 · 4083 + 29 = 142934.

Ответ: 4083 (остаток 29).

б) Выполните деление с остатком. 199808 на 64;

199808 : 64 = 3122 (ост. 0); проверка: 64 · 3122 + 0 = 199808.

Ответ: 3122 (остаток 0).

в) Выполните деление с остатком. 125307 на 266;

125307 : 266 = 471 (ост. 21); проверка: 266 · 471 + 21 = 125307.

Ответ: 471 (остаток 21).

г) Выполните деление с остатком. 145773 на 319.

145773 : 319 = 456 (ост. 309); проверка: 319 · 456 + 309 = 145773.

Ответ: 456 (остаток 309).

При вместимости 50 мешков: 680 : 50 = 13 (ост. 30), нужны 14 машин. При вместимости 45: 680 : 45 = 15 (ост. 5), нужны 16 машин.

Ответ: 14 машин при вместимости 50 мешков; 16 машин при вместимости 45 мешков.

а) Делитель 38, неполное частное 19, остаток 29

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 38 × 19 = 722.
2. 722 + 29 = 751.

Ответ: 751.

б) делитель 67, неполное частное 104, остаток 44

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 67 × 104 = 6 968.
2. 6 968 + 44 = 7 012.

Ответ: 7 012.

в) делитель 105, неполное частное 0, остаток 99

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 105 × 0 = 0.
2. 0 + 99 = 99.

Ответ: 99.

В каждой банке сначала было 8 − 3 = 5 кг белил. 45 : 5 = 9 банок. Уравнение: 45 : x + 3 = 8, x = 9.

Ответ: 9 банок.

а) Составьте и решите уравнение по описанию соответствующей схемы рисунка 3.11. От числа 0 прибавили 63, затем x и получили 164.

63 + x = 164, x = 101.

Ответ: x = 101.

б) Составьте и решите уравнение по описанию соответствующей схемы рисунка 3.11. От числа 0 прибавили y, затем 29, затем ещё y и получили 76.

y + 29 + y = 76, 2y = 47, y = 23,5.

Ответ: y = 23,5.

в) Составьте и решите уравнение по описанию соответствующей схемы рисунка 3.11. От числа 37 прибавили 27a, затем 54 и получили 496.

37 + 27a + 54 = 496, 27a = 405, a = 15.

Ответ: a = 15.

г) Составьте и решите уравнение по описанию соответствующей схемы рисунка 3.11. От числа 0 прибавили 2m, затем вычли 34 и получили 138.

2m − 34 = 138, 2m = 172, m = 86.

Ответ: m = 86.

д) Составьте и решите уравнение по описанию соответствующей схемы рисунка 3.11. От числа 130 прибавили 3p, затем вычли 96 и получили 274.

130 + 3p − 96 = 274, 3p = 240, p = 80.

Ответ: p = 80.

200 : 30 = 6 (ост. 20). Можно купить 6 булочек.

Ответ: 6 булочек.

45 : 18 = 2 (ост. 9). Нужны 3 микроавтобуса.

Ответ: 3 микроавтобуса.

44 − 12 · 3 = 44 − 36 = 8 м.

Ответ: 8 м.

а) Запишите выражение. Сумма выражений 4t − 8 и 103 − 7s;

Скобки показывают, что указанная сумма или разность участвует в новом действии целиком.

(4t − 8) + (103 − 7s);

Ответ: (4t − 8) + (103 − 7s).

б) Запишите выражение. разность выражений 3a + 12 и 15 − 4b;

Скобки показывают, что указанная сумма или разность участвует в новом действии целиком.

(3a + 12) − (15 − 4b);

Ответ: (3a + 12) − (15 − 4b).

в) Запишите выражение. произведение выражений 3y − 22 и 5x;

Скобки показывают, что указанная сумма или разность участвует в новом действии целиком.

(3y − 22) · 5x;

Ответ: (3y − 22) · 5x.

г) Запишите выражение. частное выражений 7z + 4 и z − 6.

Скобки показывают, что указанная сумма или разность участвует в новом действии целиком.

(7z + 4) : (z − 6), z ≠ 6.

Ответ: (7z + 4) : (z − 6), z ≠ 6.

а) 130092 : 444 − 5628 : 67+78808

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 130 092 : 444 = 293.
2. 5 628 : 67 = 84.
3. 293 − 84 = 209.
4. 209 + 78 808 = 79 017.

Ответ: 79 017.

б) 14 · (3700 · 13 − 289800 : 46)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 3 700 × 13 = 48 100.
2. 289 800 : 46 = 6 300.
3. 48 100 − 6 300 = 41 800.
4. 14 × 41 800 = 585 200.

Ответ: 585 200.

1) а) 100 : 3 = 33 (ост. 1); б) 10000 : 6 = 1666 (ост. 4); в) 100000 : 7 = 14285 (ост. 5); г) 805 : 100 = 8 (ост. 5); д) 10300 : 1300 = 7 (ост. 1200); е) 1000000 : 9000 = 111 (ост. 1000). 2) Строки (делимое; делитель; неполное частное; остаток): (56; 13; 4; 4), (53; 12; 4; 5), (81; 11; 7; 4). 3) Наибольший остаток 12. 4) 290 : 23 = 12 (ост. 14): можно купить 12 тетрадей. 5) 22 · 3 + 1 = 67 кг яблок. 6) Нужно 6 лодок: 5 вмещают только 70 человек; свободных мест 6 · 14 − 78 = 6.