ГДЗ: Параграф 15 / Математика 5 класс. Часть 1

Чтобы сумму умножить на число, умножают каждое слагаемое и складывают произведения: (a + b)c = ac + bc. Для разности: (a − b)c = ac − bc.

Складывают или вычитают числовые множители при одинаковой букве: 7x + 3x = 10x; 17t − 8t = 9t; 5b + 15b = 20b.

Вынести общий множитель: 5a + 5b = 5(a + b) = 5 · 100 = 500.

Вся покупка: (190 + 160) · 12 = 4200 р. Разность стоимости: (190 − 160) · 12 = 360 р. Глубокие тарелки дороже на 360 р.

Ответ: 4200 р.; глубокие тарелки дороже на 360 р.

Всего расписано 6(6 + 7) = 78 игрушек. В первый день меньше на 6(7 − 6) = 6 игрушек.

Ответ: 78 игрушек; в первый день на 6 игрушек меньше.

а) Объясните решение 13 · 5 = (10 + 3) · 5 = 10 · 5 + 3 · 5 = 50 + 15 = 65. Аналогично решите с объяснением. 12 · 8;

Применяем распределительное свойство: представляем первый множитель суммой десятков и единиц, умножаем каждую часть и складываем результаты.

12 · 8 = (10 + 2) · 8 = 80 + 16 = 96.

Ответ: 96.

б) Объясните решение 13 · 5 = (10 + 3) · 5 = 10 · 5 + 3 · 5 = 50 + 15 = 65. Аналогично решите с объяснением. 34 · 6.

Применяем распределительное свойство: представляем первый множитель суммой десятков и единиц, умножаем каждую часть и складываем результаты.

34 · 6 = (30 + 4) · 6 = 180 + 24 = 204.

Ответ: 204.

а) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 82 · 7;

82 · 7 = 80 · 7 + 2 · 7 = 560 + 14 = 574.

Ответ: 574.

б) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 8 · 61;

8 · 61 = 8 · 60 + 8 · 1 = 480 + 8 = 488.

Ответ: 488.

в) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 4 · 302;

4 · 302 = 4 · 300 + 4 · 2 = 1200 + 8 = 1208.

Ответ: 1208.

г) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 5 · 606.

5 · 606 = 5 · 600 + 5 · 6 = 3000 + 30 = 3030.

Ответ: 3030.

а) Объясните решение 29 · 4 = (30 − 1) · 4 = 30 · 4 − 1 · 4 = 120 − 4 = 116. Аналогично решите с объяснением. 38 · 5;

Представляем первый множитель разностью удобного круглого числа и небольшой поправки; умножаем обе части и вычитаем второе произведение из первого.

38 · 5 = (40 − 2) · 5 = 200 − 10 = 190.

Ответ: 190.

б) Объясните решение 29 · 4 = (30 − 1) · 4 = 30 · 4 − 1 · 4 = 120 − 4 = 116. Аналогично решите с объяснением. 69 · 6.

Представляем первый множитель разностью удобного круглого числа и небольшой поправки; умножаем обе части и вычитаем второе произведение из первого.

69 · 6 = (70 − 1) · 6 = 420 − 6 = 414.

Ответ: 414.

а) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 8 · 79;

8 · 79 = 8(80 − 1) = 640 − 8 = 632.

Ответ: 632.

б) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 6 · 198;

6 · 198 = 6(200 − 2) = 1200 − 12 = 1188.

Ответ: 1188.

в) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 5 · 497;

5 · 497 = 5(500 − 3) = 2500 − 15 = 2485.

Ответ: 2485.

г) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 499 · 25.

499 · 25 = (500 − 1) · 25 = 12500 − 25 = 12475.

Ответ: 12475.

а) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 36 · 101;

36 · 101 = 36(100 + 1) = 3600 + 36 = 3636.

Ответ: 3636.

б) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 22 · 25;

22 · 25 = (20 + 2) · 25 = 500 + 50 = 550.

Ответ: 550.

в) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 16 · 99;

16 · 99 = 16(100 − 1) = 1600 − 16 = 1584.

Ответ: 1584.

г) Найдите произведение с помощью распределительного свойства умножения. 45 · 18.

45 · 18 = 45(20 − 2) = 900 − 90 = 810.

Ответ: 810.

а) (25+12) · 4

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 25 + 12 = 37.
2. 37 × 4 = 148.

Ответ: 148.

б) (100+30+2) · 3

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 100 + 30 = 130.
2. 130 + 2 = 132.
3. 132 × 3 = 396.

Ответ: 396.

в) (200 − 20) · 5

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 200 − 20 = 180.
2. 180 × 5 = 900.

Ответ: 900.

г) (300 − 10 − 1) · 6

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 300 − 10 = 290.
2. 290 − 1 = 289.
3. 289 × 6 = 1 734.

Ответ: 1 734.

а) Восстановите пропущенные части равенства, используя распределительное свойство. (45 + ?) · 4 = 45 · ? + 12 · 4;

По распределительному свойству (a + b)c = ac + bc и (a − b)c = ac − bc. Число вне скобок повторяется в обоих произведениях.

(45 + 12) · 4 = 45 · 4 + 12 · 4.

Ответ: (45 + 12) · 4 = 45 · 4 + 12 · 4.

б) Восстановите пропущенные части равенства, используя распределительное свойство. (125 − 9) · ? = 125 · 8 − ? · 8;

По распределительному свойству (a + b)c = ac + bc и (a − b)c = ac − bc. Число вне скобок повторяется в обоих произведениях.

(125 − 9) · 8 = 125 · 8 − 9 · 8.

Ответ: (125 − 9) · 8 = 125 · 8 − 9 · 8.

в) Восстановите пропущенные части равенства, используя распределительное свойство. (? + ?) · 6 = 70 · 6 + 3 · 6;

По распределительному свойству (a + b)c = ac + bc и (a − b)c = ac − bc. Число вне скобок повторяется в обоих произведениях.

(70 + 3) · 6 = 70 · 6 + 3 · 6.

Ответ: (70 + 3) · 6 = 70 · 6 + 3 · 6.

г) Восстановите пропущенные части равенства, используя распределительное свойство. (? − ?) · 8 = 40 · 8 − 2 · 8.

По распределительному свойству (a + b)c = ac + bc и (a − b)c = ac − bc. Число вне скобок повторяется в обоих произведениях.

(40 − 2) · 8 = 40 · 8 − 2 · 8.

Ответ: (40 − 2) · 8 = 40 · 8 − 2 · 8.

а) Верно ли равенство? Объясните ответ и исправьте неверные записи. (75 + 22) · 4 = 75 · 4 + 22 · 4;

Верно по распределительному свойству.

Ответ: верно.

б) Верно ли равенство? Объясните ответ и исправьте неверные записи. (100 − 7) · 8 = 100 − 7 · 8;

Неверно: слева 744, справа 44; правильно (100 − 7) · 8 = 100 · 8 − 7 · 8.

Ответ: неверно; нужно 100 · 8 − 7 · 8.

в) Верно ли равенство? Объясните ответ и исправьте неверные записи. (62 + 15) · 2 = 62 · 2 + 15;

Неверно: слева 154, справа 139; нужно 62 · 2 + 15 · 2.

Ответ: неверно; нужно 62 · 2 + 15 · 2.

г) Верно ли равенство? Объясните ответ и исправьте неверные записи. 80 · 3 − 2 · 3 = (80 − 2) · 3.

Верно по распределительному свойству.

Ответ: верно.

а) 47 · 34 + 53 · 34

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 47 + 53 = 100.
2. 100 × 34 = 3 400.

Ответ: 3 400.

б) 304 · 87 − 204 · 87

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 304 − 204 = 100.
2. 100 × 87 = 8 700.

Ответ: 8 700.

в) 962 · 54 + 54 · 38

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 962 + 38 = 1 000.
2. 1 000 × 54 = 54 000.

Ответ: 54 000.

г) 281 · 72 − 181 · 72

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 281 − 181 = 100.
2. 100 × 72 = 7 200.

Ответ: 7 200.

д) 438 · 90 − 238 · 90

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 438 − 238 = 200.
2. 200 × 90 = 18 000.

Ответ: 18 000.

е) 801 · 6 + 94 · 801

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 6 + 94 = 100.
2. 801 × 100 = 80 100.

Ответ: 80 100.

а) Не выполняя вычислений, сравните значения выражений. (30 + 8) · 4 и 30 · 4 + 8 · 4;

(30 + 8) · 4 = 30 · 4 + 8 · 4 по распределительному свойству.

Ответ: равны.

б) Не выполняя вычислений, сравните значения выражений. 50 · 7 + 2 · 8 и (50 + 2) · 7.

50 · 7 + 2 · 8 > (50 + 2) · 7, поскольку справа 50 · 7 + 2 · 7, а 2 · 8 > 2 · 7.

Ответ: 50 · 7 + 2 · 8 > (50 + 2) · 7.

а) Найдите периметр прямоугольника. В каждом случае выберите удобный способ вычислений и объясните выбор. Стороны 13 см и 7 см;

P = 2(13 + 7) = 2 · 20 = 40 см: удобно сначала получить круглую сумму.

Ответ: 40 см.

б) Найдите периметр прямоугольника. В каждом случае выберите удобный способ вычислений и объясните выбор. стороны 22 см и 5 см.

P = 2 · 22 + 2 · 5 = 44 + 10 = 54 см: удобно сложить удвоенные стороны.

Ответ: 54 см.

Скорость сближения 9 + 11 = 20 км/ч. Расстояние (9 + 11) · 2 = 40 км.

Ответ: 40 км.

Скорость удаления 220 + 240 = 460 км/ч. Расстояние 460 · 3 = 1380 км.

Ответ: 1380 км.

а) Составьте задачу на движение по выражению и решите её. (12 + 15) · 4;

Два велосипедиста выехали из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 12 и 15 км/ч. Через 4 ч расстояние (12 + 15) · 4 = 108 км.

Ответ: 108 км.

б) Составьте задачу на движение по выражению и решите её. 108 : (12 + 15);

Между двумя пунктами 108 км. Велосипедисты едут навстречу со скоростями 12 и 15 км/ч; встретятся через 108 : (12 + 15) = 4 ч.

Ответ: 4 ч.

в) Составьте задачу на движение по выражению и решите её. 108 : 4 − 12.

Те же велосипедисты встретились через 4 ч на пути длиной 108 км; скорость первого 12 км/ч. Скорость второго 108 : 4 − 12 = 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

а) Представьте произведение в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения. (54 + x) · 3;

54 · 3 + 3x = 162 + 3x;

Ответ: 162 + 3x.

б) Представьте произведение в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения. (y − 6) · 8;

8y − 6 · 8 = 8y − 48;

Ответ: 8y − 48.

в) Представьте произведение в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения. 13(18 − a);

13 · 18 − 13a = 234 − 13a;

Ответ: 234 − 13a.

г) Представьте произведение в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения. 31(20 + b).

31 · 20 + 31b = 620 + 31b.

Ответ: 620 + 31b.

а) Найдите все значения c, при которых равенство верно. 5(4 + c) = 20 + 5c;

По распределительному свойству 5(4 + c) = 5 · 4 + 5c = 20 + 5c. Равенство верно при любом допустимом c.

Ответ: любое допустимое c.

б) Найдите все значения c, при которых равенство верно. (4 + 5)c = 4c + 5c;

По распределительному свойству (4 + 5)c = 4c + 5c. Равенство верно при любом допустимом c.

Ответ: любое допустимое c.

в) Найдите все значения c, при которых равенство верно. (c + 8) · 5 = 7 · 5 + 8 · 5;

(c + 8) · 5 = 7 · 5 + 8 · 5. После вычитания одинакового слагаемого 8 · 5 получаем 5c = 7 · 5, поэтому c = 7.

Ответ: c = 7.

г) Найдите все значения c, при которых равенство верно. (c + 4) · 3 = 2 · 3 + 4 · 3;

3c + 4 · 3 = 2 · 3 + 4 · 3. После вычитания 4 · 3 получаем 3c = 6, поэтому c = 2.

Ответ: c = 2.

д) Найдите все значения c, при которых равенство верно. (7 − 3)c = 7c − 3c;

По распределительному свойству (7 − 3)c = 7c − 3c. Равенство верно при любом допустимом c.

Ответ: любое допустимое c.

е) Найдите все значения c, при которых равенство верно. (7 − 3)c = 7c − 3 · 6.

4c = 7c − 18; 3c = 18; c = 6.

Ответ: c = 6.

а) Запишите выражение в виде произведения. 47a + 13a;

47a + 13a = (47 + 13)a = 60a.

Ответ: 60a.

б) Запишите выражение в виде произведения. 34y + 6y;

34y + 6y = (34 + 6)y = 40y.

Ответ: 40y.

в) Запишите выражение в виде произведения. x + 61x;

x + 61x = (1 + 61)x = 62x.

Ответ: 62x.

г) Запишите выражение в виде произведения. t + 65t;

t + 65t = (1 + 65)t = 66t.

Ответ: 66t.

д) Запишите выражение в виде произведения. 47p − 27p;

47p − 27p = (47 − 27)p = 20p.

Ответ: 20p.

е) Запишите выражение в виде произведения. 92g − 90g;

92g − 90g = (92 − 90)g = 2g.

Ответ: 2g.

ж) Запишите выражение в виде произведения. 102l − l;

102l − l = (102 − 1)l = 101l.

Ответ: 101l.

з) Запишите выражение в виде произведения. 10000k − k.

10000k − k = (10000 − 1)k = 9999k.

Ответ: 9999k.

а) Масса чашки a г, масса блюдца b г. Объясните, что означает выражение. 12a + 12b;

12a + 12b — общая масса 12 чашек и 12 блюдец.

Ответ: 12a + 12b — общая масса 12 чашек и 12 блюдец.

б) Масса чашки a г, масса блюдца b г. Объясните, что означает выражение. 12(a + b);

12(a + b) — та же масса 12 пар «чашка и блюдце».

Ответ: 12(a + b) — та же масса 12 пар «чашка и блюдце».

в) Масса чашки a г, масса блюдца b г. Объясните, что означает выражение. 10b − 10a.

10b − 10a — на сколько масса 10 блюдец больше массы 10 чашек (если блюдца тяжелее).

Ответ: 10b − 10a — на сколько масса 10 блюдец больше массы 10 чашек (если блюдца тяжелее).

а) Составьте выражение по условию задачи. Из двух деревень, расстояние между которыми 26 км, одновременно в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, выехали два автобуса. Первый проезжает x км за час, второй y км за час. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

При движении в разные стороны друг от друга расстояние через 3 ч равно 26 + 3(x + y) км.

Ответ: 26 + 3(x + y) км.

б) Составьте выражение по условию задачи. Два друга одновременно вышли из своих домов навстречу друг другу. Первый проходит x м в минуту, второй y м в минуту. Расстояние между домами 800 м. Какое расстояние будет между друзьями через 2 мин?

До встречи расстояние через 2 мин равно 800 − 2(x + y) м. Если встреча уже произошла и друзья продолжают путь, расстояние равно модулю этой разности: |800 − 2(x + y)|.

Ответ: 800 − 2(x + y) м до встречи; после встречи — модуль этой разности.

а) Найдите значение выражения при каждом указанном значении буквы. 57a + 43a при a = 321 и a = 998;

57a + 43a = 100a; при a = 321 — 32100, при a = 998 — 99800.

Ответ: 32100; 99800.

б) Найдите значение выражения при каждом указанном значении буквы. 381p − 181p при p = 59 и p = 623.

381p − 181p = 200p; при p = 59 — 11800, при p = 623 — 124600.

Ответ: 11800; 124600.

а) Найдите значение выражения. 24x + 24y при x = 32, y = 8;

24(x + y) = 24(32 + 8) = 960.

Ответ: 960.

б) Найдите значение выражения. 13a − 13b при a = 407, b = 207.

13(a − b) = 13(407 − 207) = 2600.

Ответ: 2600.

а) Найдите корень уравнения. 6a + 6a = 636;

12a = 636, a = 53.

Ответ: a = 53.

б) Найдите корень уравнения. 15b − 8b = 721;

7b = 721, b = 103.

Ответ: b = 103.

в) Найдите корень уравнения. 9t + t = 7000;

10t = 7000, t = 700.

Ответ: t = 700.

г) Найдите корень уравнения. 10s − s = 540;

9s = 540, s = 60.

Ответ: s = 60.

д) Найдите корень уравнения. l + 3l + 6l = 1800;

10l = 1800, l = 180.

Ответ: l = 180.

е) Найдите корень уравнения. 5t + 4t − t = 7200.

8t = 7200, t = 900.

Ответ: t = 900.

а) При каком значении буквы выполняется условие? Выражение 9z меньше 5z на 68;

В скане напечатано: «9z меньше 5z на 68». Тогда 5z − 9z = 68; при натуральных и неотрицательных z решений нет, поскольку 9z ≥ 5z. Если разрешены отрицательные числа, формальный корень z = −17.

Ответ: среди неотрицательных чисел решения нет; среди целых z = −17.

б) При каком значении буквы выполняется условие? выражение 27p больше 9p на 126;

27p − 9p = 126; 18p = 126; p = 7.

Ответ: p = 7.

в) При каком значении буквы выполняется условие? разность 25c и 15c равна 12120;

25c − 15c = 12120; 10c = 12120; c = 1212.

Ответ: c = 1212.

г) При каком значении буквы выполняется условие? сумма 2x и 9x равна 5533.

2x + 9x = 5533; 11x = 5533; x = 503.

Ответ: x = 503.

а) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. Разность 84a и 75a равна 108;

84a − 75a = 108; 9a = 108; a = 12.

Ответ: a = 12.

б) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. сумма 6d и 2d равна 96;

6d + 2d = 96; 8d = 96; d = 12.

Ответ: d = 12.

в) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. z меньше 4z на 72;

4z − z = 72; 3z = 72; z = 24.

Ответ: z = 24.

г) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. 28m на 43 меньше, чем 211;

28m + 43 = 211; 28m = 168; m = 6.

Ответ: m = 6.

д) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. 9k вдвое больше, чем 216;

9k = 216 · 2; k = 48.

Ответ: k = 48.

е) Запишите равенство по условию и найдите значение буквы, при котором оно верно. 45 в 16 раз меньше, чем 10q.

10q = 45 · 16; q = 72.

Ответ: q = 72.

AB = 6t, BC = 11t, AC = 102 см. 6t + 11t = 102; 17t = 102; t = 6. AB = 36 см; BC = 66 см; AC = 102 см.

Ответ: t = 6; AB = 36 см, BC = 66 см, AC = 102 см.

2(4t + 7t) = 374; 22t = 374; t = 17. Стороны 4 · 17 = 68 дм и 7 · 17 = 119 дм.

Ответ: 68 дм и 119 дм.

а) Упростите выражение. 4c + 25 + 4c + 27;

4c + 4c + 25 + 27 = 8c + 52.

Ответ: 8c + 52.

б) Упростите выражение. d + 47 + 6d + 18.

d + 6d + 47 + 18 = 7d + 65.

Ответ: 7d + 65.

а) Найдите корень уравнения. 6x + 4x + 19 = 169;

10x + 19 = 169; 10x = 150; x = 15.

Ответ: x = 15.

б) Найдите корень уравнения. 7y − 2y + 35 = 95;

5y + 35 = 95; 5y = 60; y = 12.

Ответ: y = 12.

в) Найдите корень уравнения. 7z + 9z − 16 = 160;

16z − 16 = 160; 16z = 176; z = 11.

Ответ: z = 11.

г) Найдите корень уравнения. 23m − 5m − 18 = 18.

18m − 18 = 18; 18m = 36; m = 2.

Ответ: m = 2.

а) Упростите выражение. 5 · 7 · s;

По переместительному и сочетательному свойствам сначала перемножаем все числовые множители; буквенный множитель сохраняем.

5 · 7 · s = 35s;

Ответ: 35s.

б) Упростите выражение. 7 · p · 32;

По переместительному и сочетательному свойствам сначала перемножаем все числовые множители; буквенный множитель сохраняем.

7 · p · 32 = 224p;

Ответ: 224p.

в) Упростите выражение. q · 13 · 18.

По переместительному и сочетательному свойствам сначала перемножаем все числовые множители; буквенный множитель сохраняем.

q · 13 · 18 = 234q.

Ответ: 234q.

а) Решите уравнение. 25 · 4 · x = 900;

100x = 900, x = 9;

Ответ: x = 9.

б) Решите уравнение. 5 · y · 20 = 400;

100y = 400, y = 4;

Ответ: y = 4.

в) Решите уравнение. p · 9 · 23 = 207;

207p = 207, p = 1;

Ответ: p = 1.

г) Решите уравнение. 2 · m · 45 = 810.

90m = 810, m = 9.

Ответ: m = 9.

(x − 14) · 7 = 126; x − 14 = 18; x = 32.

Ответ: 32.

Пусть примеры заняли x с, задача — 5x с. x + 5x = 78; 6x = 78; x = 13 с. Задача заняла 5 · 13 = 65 с. Проверка: 13 + 65 = 78.

Ответ: примеры 13 с, задача 65 с.

Пусть шоколадных x кг, остальных 4x кг. x + 4x = 2555; 5x = 2555; x = 511 кг.

Ответ: 511 кг.

Пусть геометрии x, алгебры 3x. 4x = 92; x = 23 учебника геометрии.

Ответ: 23 учебника.

Пусть класс имеет площадь x м², зал — 7x м². 7x − x = 288; 6x = 288; x = 48. Зал: 7 · 48 = 336 м².

Ответ: 336 м².

Пусть MK = x см, тогда KN = 10x см. 10x − x = 27; 9x = 27; x = 3. MK = 3 см, KN = 30 см, MN = 33 см.

Ответ: MK = 3 см, KN = 30 см, MN = 33 см.

Всего 2 + 5 = 7 частей, одна часть 28 : 7 = 4 кг. Цемента 2 · 4 = 8 кг; песка 20 кг. Проверка: 8 + 20 = 28 кг.

Ответ: 8 кг цемента.

Всего 7 + 2 = 9 частей; одна часть 18 : 9 = 2 ц. Сока 7 · 2 = 14 ц.

Ответ: 14 ц сока.

Всего 11 + 5 + 4 = 20 частей; одна часть 720 : 20 = 36 г. Воды 11 · 36 = 396 г, нашатырного спирта 5 · 36 = 180 г, казеина 4 · 36 = 144 г.

Ответ: 396 г воды, 180 г нашатырного спирта, 144 г казеина.

1) Решите задачу о соотношении частей. В описанном в учебнике хлебном пайке блокадного Ленинграда было 6 частей ржаной муки, 2 части целлюлозы и жмыха, 1 часть отрубей и 1 часть прочих примесей. Сколько ржаной муки содержал паёк военнослужащего массой 300 г?

Всего 6 + 2 + 1 + 1 = 10 частей. Ржаной муки 300 : 10 · 6 = 180 г.

Ответ: 180 г ржаной муки.

2) Решите задачу о соотношении частей. По условию учебной задачи норма хлеба ребёнка в 2 раза меньше нормы рабочего и в 4 раза меньше нормы солдата первой линии обороны. Буханку массой 1 кг делят на двоих детей, одного рабочего и одного такого солдата. Сколько граммов получает ребёнок?

Пусть ребёнку полагалось x г, рабочему 2x г, солдату 4x г. 2x + 2x + 4x = 1000; 8x = 1000; x = 125 г.

Ответ: 125 г хлеба.

Всего 84 + 14 + 2 = 100 частей. Сахара 5200 : 100 · 14 = 728 кг.

Ответ: 728 кг сахара.

Пусть сначала Петя нашёл x грибов, Катя — 2x. После добавки 17 грибов: x + 17 + 2x = 89; 3x = 72; x = 24. Петя всего нашёл 24 + 17 = 41 гриб, Катя — 48.

Ответ: Петя 41 гриб, Катя 48 грибов.

4x + 5x + 12x + 3x = 312; 24x = 312; x = 13. Пример задачи: в магазин привезли 4 коробки красных, 5 зелёных, 12 синих и 3 жёлтых карандашей. Во всех коробках поровну карандашей, всего 312. Сколько в одной коробке? Ответ: 13.

Ответ: например, 4x + 5x + 12x + 3x = 312; x = 13.

а) 25 · 3 → :15 → +29 → :17

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 25 × 3 = 75.
2. 75 : 15 = 5.
3. 5 + 29 = 34.
4. 34 : 17 = 2.

Ответ: 2.

б) 15 · 4 → +16 → :19 → −4

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 15 × 4 = 60.
2. 60 + 16 = 76.
3. 76 : 19 = 4.
4. 4 − 4 = 0.

Ответ: 0.

в) 100 : 25 → ·17 → :2 → +26

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 100 : 25 = 4.
2. 4 × 17 = 68.
3. 68 : 2 = 34.
4. 34 + 26 = 60.

Ответ: 60.

г) 16 · 3 → −12 → :12 → ·23

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 16 × 3 = 48.
2. 48 − 12 = 36.
3. 36 : 12 = 3.
4. 3 × 23 = 69.

Ответ: 69.

д) 54 : 18 → +27 → :15 → ·29

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 54 : 18 = 3.
2. 3 + 27 = 30.
3. 30 : 15 = 2.
4. 2 × 29 = 58.

Ответ: 58.

а) 8 · 46 · 125

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 8 × 125 = 1 000.
2. 1 000 × 46 = 46 000.

Ответ: 46 000.

б) 24 · 13 · 125

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 24 × 125 = 3 000.
2. 3 000 × 13 = 39 000.

Ответ: 39 000.

в) 71 + 785 + 94 + 29 + 215

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 71 + 29 = 100.
2. 785 + 215 = 1 000.
3. 100 + 1 000 = 1 100.
4. 1 100 + 94 = 1 194.

Ответ: 1 194.

а) Решите уравнение. 37 = 37 + a;

Используем обратные действия: равные слагаемые можно вычесть из обеих частей; неизвестное уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности.

a = 0;

Ответ: a = 0.

б) Решите уравнение. 37 − a = 37;

Используем обратные действия: равные слагаемые можно вычесть из обеих частей; неизвестное уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности.

a = 0;

Ответ: a = 0.

в) Решите уравнение. a − 37 = 37;

Используем обратные действия: равные слагаемые можно вычесть из обеих частей; неизвестное уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности.

a = 37 + 37 = 74;

Ответ: a = 74.

г) Решите уравнение. 0 = 37 − a.

Используем обратные действия: равные слагаемые можно вычесть из обеих частей; неизвестное уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности.

a = 37.

Ответ: a = 37.

а) Подберите корень уравнения. x − 234 = 3856 − 234;

x = 3856: из равных уменьшаемых вычли одно число 234.

Ответ: x = 3856.

б) Подберите корень уравнения. y : 98 = 1274 : 98;

y = 1274: делители одинаковы и ненулевые.

Ответ: y = 1274.

в) Подберите корень уравнения. 2018z = 24 · 2018.

z = 24: известный множитель 2018 одинаков и ненулевой.

Ответ: z = 24.

а) Придумайте задачу по уравнению и решите её. 4a + a = 95;

В большой коробке в 4 раза больше карандашей, чем в маленькой; всего 95. 4a + a = 95; в маленькой 19.

Ответ: a = 19.

б) Придумайте задачу по уравнению и решите её. c + c + c = c + 72;

В трёх одинаковых пачках открыток столько же, сколько в одной такой пачке и ещё 72 открытки. c + c + c = c + 72; в пачке 36.

Ответ: c = 36.

в) Придумайте задачу по уравнению и решите её. 4b + 6b = 120.

Купили 4 синие и 6 красных тетрадей по одной цене, заплатили 120 р. 4b + 6b = 120; цена 12 р.

Ответ: b = 12.

Для неотрицательных чисел: сумма равна нулю только когда оба слагаемых нулевые; разность — когда уменьшаемое равно вычитаемому; произведение — когда хотя бы один множитель нулевой; частное — когда делимое нулевое, а делитель ненулевой.

Ответ: сложение — оба слагаемых 0; вычитание — числа равны; умножение — хотя бы один множитель 0; деление — делимое 0, делитель ненулевой.

Например, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 7: сумма 5 + 2 + 7 = 14, произведение 2 · 7 = 14. Другое решение: 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4: сумма 5 + 3 + 4 = 12, произведение 3 · 4 = 12.

Ответ: например, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 7; другое решение — 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4.

Пусть в первый день x книг, в четвёртый 4x, во второй и третий y и z, где x < y < z < 4x. Тогда 5x + y + z = 23. Если x = 1, y и z могут быть только 2 и 3, сумма всех дней 10. При x = 2 имеем y + z = 13 и 2 < y < z < 8, значит y = 6, z = 7. При x ≥ 3 сумма не меньше x + (x + 1) + (x + 2) + 4x = 7x + 3 ≥ 24. Единственный ответ: 2, 6, 7, 8 книг.

Ответ: по дням 2, 6, 7, 8 книг.

На каждой из четырёх позиций возможны 10 цифр, в том числе нуль; повторения допустимы. 10 · 10 · 10 · 10 = 10000 вариантов.

Ответ: 10000 кодов.

а) Найдите остаток от деления. 956 : 14;

956 : 14 = 68 (ост. 4); проверка: 14 · 68 + 4 = 956.

Ответ: 4.

б) Найдите остаток от деления. 790 : 23;

790 : 23 = 34 (ост. 8); проверка: 23 · 34 + 8 = 790.

Ответ: 8.

в) Найдите остаток от деления. 4311 : 127.

4311 : 127 = 33 (ост. 120); проверка: 127 · 33 + 120 = 4311.

Ответ: 120.

a = 16 · 20 + 15 = 335.

Ответ: 335.

а) Найдите корень уравнения. x : 13 = 246 + 116;

x : 13 = 362, x = 362 · 13 = 4706.

Ответ: x = 4706.

б) Найдите корень уравнения. 1368 : y = 632 − 575;

1368 : y = 57, y = 1368 : 57 = 24.

Ответ: y = 24.

в) Найдите корень уравнения. z · 46 = 916 + 832;

z · 46 = 1748, z = 1748 : 46 = 38.

Ответ: z = 38.

г) Найдите корень уравнения. (3705 + p) : 59 = 63;

3705 + p = 63 · 59 = 3717, p = 12.

Ответ: p = 12.

д) Найдите корень уравнения. 936 : (124 − k) = 8;

124 − k = 936 : 8 = 117, k = 7.

Ответ: k = 7.

е) Найдите корень уравнения. (150 − m) · 33 = 1683.

150 − m = 1683 : 33 = 51, m = 99.

Ответ: m = 99.

На левой чаше 3 кочана и гиря 5 кг, на правой гири 1, 5, 5 кг. 3x + 5 = 1 + 5 + 5; 3x = 6; x = 2 кг.

Ответ: 2 кг.

Пусть PR = x см, PQ = x + 9 см, QR = x + 9 + 14 = x + 23 см. x + x + 9 + x + 23 = 86; 3x = 54; x = 18. PR = 18 см, PQ = 27 см, QR = 41 см.

Ответ: PR = 18 см, PQ = 27 см, QR = 41 см.

BM = 3y = 15 см, поэтому y = 5. MN = 3y + 2y + 7y = 12y = 60 см.

Ответ: 60 см.

Всего 7 · 12 = 84 пирожных. 84 : 28 = 3 пирожных каждому.

Ответ: 3 пирожных.

Февраль: 81760 − 43200 = 38560 тыс. тонн. Март: 124960 − 81760 = 43200 тыс. тонн.

Ответ: в феврале 38560 тыс. т, в марте 43200 тыс. т.

1) Решите задачу. Катер плыл 2 ч и сломался, не дойдя 4 км до пункта назначения. Планировалось пройти 34 км. С какой скоростью он плыл до поломки?

До поломки катер прошёл 34 − 4 = 30 км за 2 ч. Его скорость: 30 : 2 = 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

2) Решите задачу. Велосипедист планировал проехать 33 км. Через 2 ч движения ему оставалось 7 км. С какой скоростью он двигался?

Велосипедист проехал 33 − 7 = 26 км за 2 ч. Скорость: 26 : 2 = 13 км/ч.

Ответ: 13 км/ч.

3) Решите задачу. Из брикета мороженого массой 1 кг сделали порции по 150 г. В брикете осталось 250 г. Сколько порций сделали?

1 кг = 1000 г. На порции израсходовали 1000 − 250 = 750 г мороженого. Число порций: 750 : 150 = 5.

Ответ: 5 порций.

4) Решите задачу. Ваня ежедневно решал по 7 задач из списка, содержащего 45 задач. Сколько дней он готовился к контрольной работе, если накануне оставалось решить 3 задачи?

Ваня решил 45 − 3 = 42 задачи. При 7 задачах в день он готовился 42 : 7 = 6 дней.

Ответ: 6 дней.

а) 953680 : 5 : 14 : 131

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 953 680 : 5 = 190 736.
2. 190 736 : 14 = 13 624.
3. 13 624 : 131 = 104.

Ответ: 104.

б) 125 · (9720 : 81 : 6)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 9 720 : 81 = 120.
2. 120 : 6 = 20.
3. 125 × 20 = 2 500.

Ответ: 2 500.

в) 335920 : 95 : 17 · 125

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 335 920 : 95 = 3 536.
2. 3 536 : 17 = 208.
3. 208 × 125 = 26 000.

Ответ: 26 000.

г) 138600 : 56 : 25 : 9

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 138 600 : 56 = 2 475.
2. 2 475 : 25 = 99.
3. 99 : 9 = 11.

Ответ: 11.

а) Представьте произведение в виде суммы или разности с помощью распределительного свойства. 12(70 + b);

12 · 70 + 12b = 840 + 12b;

Ответ: 840 + 12b.

б) Представьте произведение в виде суммы или разности с помощью распределительного свойства. 38(21 − b);

38 · 21 − 38b = 798 − 38b;

Ответ: 798 − 38b.

в) Представьте произведение в виде суммы или разности с помощью распределительного свойства. (x − 14) · 19;

19x − 14 · 19 = 19x − 266;

Ответ: 19x − 266.

г) Представьте произведение в виде суммы или разности с помощью распределительного свойства. (16 + z) · 13.

16 · 13 + 13z = 208 + 13z.

Ответ: 208 + 13z.

а) (25 + 250) · 4

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 25 × 4 = 100.
2. 250 × 4 = 1 000.
3. 100 + 1 000 = 1 100.

Ответ: 1 100.

б) 6 · (13 + 150)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 6 × 13 = 78.
2. 6 × 150 = 900.
3. 78 + 900 = 978.

Ответ: 978.

в) 8 · 29 + 8 · 21

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 29 + 21 = 50.
2. 8 × 50 = 400.

Ответ: 400.

г) 63 · 237 + 63 · 763

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 237 + 763 = 1 000.
2. 63 × 1 000 = 63 000.

Ответ: 63 000.

а) (40 − 3) · 5

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 40 × 5 = 200.
2. 3 × 5 = 15.
3. 200 − 15 = 185.

Ответ: 185.

б) 6 · (80 − 2)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 6 × 80 = 480.
2. 6 × 2 = 12.
3. 480 − 12 = 468.

Ответ: 468.

в) 95 · 317 − 85 · 317

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 95 − 85 = 10.
2. 10 × 317 = 3 170.

Ответ: 3 170.

г) 87 · 316 − 87 · 306

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 316 − 306 = 10.
2. 87 × 10 = 870.

Ответ: 870.

а) Упростите выражение. 5b + 85b;

Выносим одинаковую букву за скобки и складываем либо вычитаем её числовые множители.

(5 + 85)b = 90b;

Ответ: 90b.

б) Упростите выражение. 64c − 49c;

Выносим одинаковую букву за скобки и складываем либо вычитаем её числовые множители.

(64 − 49)c = 15c;

Ответ: 15c.

в) Упростите выражение. 499k + k;

Выносим одинаковую букву за скобки и складываем либо вычитаем её числовые множители.

(499 + 1)k = 500k;

Ответ: 500k.

г) Упростите выражение. 102x − x.

Выносим одинаковую букву за скобки и складываем либо вычитаем её числовые множители.

(102 − 1)x = 101x.

Ответ: 101x.

а) Найдите значение выражения. 43a + 36a + 64a + 57a при a = 56;

(43 + 36 + 64 + 57)a = 200a = 200 · 56 = 11200.

Ответ: 11200.

б) Найдите значение выражения. 134p − 68p − 34p при p = 12.

(134 − 68 − 34)p = 32p = 32 · 12 = 384.

Ответ: 384.

а) Найдите корень уравнения. 18x + 23x = 697;

41x = 697, x = 17.

Ответ: x = 17.

б) Найдите корень уравнения. 72y − 25y = 611;

47y = 611, y = 13.

Ответ: y = 13.

в) Найдите корень уравнения. 59z − z = 348;

58z = 348, z = 6.

Ответ: z = 6.

г) Найдите корень уравнения. 103t − 5t = 1960.

98t = 1960, t = 20.

Ответ: t = 20.

35b − 15b = 680; 20b = 680; b = 34.

Ответ: b = 34.

У железнодорожного пути две рельсовые нити: длина рельсов 2 · 54000 = 108000 м. Масса 108000 · 65 = 7020000 кг = 7020 т. Нужно 7020 : 60 = 117 платформ.

Ответ: 117 платформ.

После перекладывания в первой стало 41 − 5 = 36 грибов; столько же во второй. До перекладывания во второй было 36 − 5 = 31 гриб.

Ответ: 31 гриб.

Пусть девочек x, мальчиков 2x. 3x = 1200, x = 400. Девочек 400, мальчиков 800.

Ответ: 800 мальчиков и 400 девочек.

Пусть кухня x м², комната 4x м². 4x − x = 24; x = 8. Комната 4 · 8 = 32 м².

Ответ: 32 м².

Пусть маленький бидон вмещает x л, большой — 4x л. 3 · 4x + 4x = 160; 16x = 160; x = 10. Большой бидон вмещает 40 л.

Ответ: 40 л.

Разность масс воды и сахара составляет 7 − 2 = 5 частей, то есть 4500 г. Одна часть 4500 : 5 = 900 г. Сахара 2 · 900 = 1800 г = 1 кг 800 г.

Ответ: 1 кг 800 г сахара.

Разность 12 − 2 = 10 частей соответствует 50 мл. Одна часть 5 мл. Всего 40 + 12 + 2 = 54 части; объём 54 · 5 = 270 мл.

Ответ: 270 мл.

Пусть со второго ряда собрали x кг, с первого x + 150 кг. 2x + 150 = 2250; 2x = 2100; x = 1050. С первого ряда 1200 кг, со второго 1050 кг. Проверка: 1200 + 1050 = 2250, 1200 − 1050 = 150. Результат совпадает с ответом на странице 158 учебника.

Ответ: с первого 1200 кг, со второго 1050 кг.

Пусть мальчиков x, девочек x + 45. 2x + 45 = 623; 2x = 578; x = 289. Мальчиков 289, девочек 334.

Ответ: 334 девочки и 289 мальчиков.

а) 2006 · (10425 : 75 − (5506 − 5415))

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 10 425 : 75 = 139.
2. 5 506 − 5 415 = 91.
3. 139 − 91 = 48.
4. 2 006 × 48 = 96 288.

Ответ: 96 288.

б) 5004 · (24717 : 77 − 318+24)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 24 717 : 77 = 321.
2. 321 − 318 = 3.
3. 3 + 24 = 27.
4. 5 004 × 27 = 135 108.

Ответ: 135 108.

в) 207746 : (306 · 54 − 16486)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 306 × 54 = 16 524.
2. 16 524 − 16 486 = 38.
3. 207 746 : 38 = 5 467.

Ответ: 5 467.

г) 9984 : 48 − 14283 : 69

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 9 984 : 48 = 208.
2. 14 283 : 69 = 207.
3. 208 − 207 = 1.

Ответ: 1.

д) 1560 : (52 · 36 − 20 · 91)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 52 × 36 = 1 872.
2. 20 × 91 = 1 820.
3. 1 872 − 1 820 = 52.
4. 1 560 : 52 = 30.

Ответ: 30.

е) 6883+(706 · 350 − 47000) : 300

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 706 × 350 = 247 100.
2. 247 100 − 47 000 = 200 100.
3. 200 100 : 300 = 667.
4. 6 883 + 667 = 7 550.

Ответ: 7 550.

Решение

Обозначим верхнюю левую цифру a, верхнюю центральную внутреннюю b. Из сумм треугольников остальные восемь незакрашенных вершин выражаются так: верхняя 13−a−b; верхняя правая a−3; средняя левая 14−a−b; нижняя внутренняя a+3; нижняя левая b+1; нижняя крайняя 10−a−b; нижняя правая b+2. Вместе с a и b сумма девяти незакрашенных цифр равна 40. Сумма всех цифр 0+1+…+9=45, поэтому в закрашенной вершине 45−40=5.

Ответ: В закрашенной вершине была цифра 5.

1) Не является решением выражение в) 12 · 50 − 9: из числа тетрадей вычли число упаковок. Остальные выражения дают 150 тетрадей. 2) а) 3a; б) 6x; в) 180b; г) 10t; д) 63s + 237. 3) а) 23(21 + 79) = 2300; б) 8 · 25 + 8 · 7 = 256; в) 74(238 − 38) = 14800; г) 208(1000 + 1) = 208208; д) (100 − 1) · 134 = 13266. 4) а) 15x = 1515, x = 101; б) 2x − 6 = 128 : 8 = 16, 2x = 22, x = 11.

1) а) 3x + 8x = 121, x = 11; б) 46y − 15y = 186, y = 6; в) 7a − 3a = 224, a = 56; г) 9c − 2c = 84, c = 12; д) 37b + 58 = 280, b = 6; е) 6k = 24 · 3, k = 12. 2) а) (13 + 10) · 23 = 529; б) (200 + 100) · 17 = 5100; в) (154 − 124) · 30 = 900; г) (687 − 487) · 25 = 5000.

1) а) x + 5, при x = 30 получаем 35 л; б) 3x = 90 л; в) 2(x + 3) = 66 л; г) 4x − 8 = 112 л. 2) а) (32 + 12 + 10 + 54)x = 108 · 11 = 1188; б) (432 − 321 − 100)a − 10 = 11 · 7645 − 10 = 84085; в) 400 + 500 + (101 − 51)n = 900 + 50 · 43 = 3050. 3) а) 55x = 330, x = 6; б) 8x = 112, x = 14.