ГДЗ: § 2 / Описательная статистика / Вероятность и статистика 10 класс

Модой называют число, которое встречается в числовом наборе наиболее часто. Если самых частых значений несколько (они встречаются одинаково часто), говорят, что у набора нет моды.

а) Все числа равны 5 — мода 5. б) Число 4 встречается три раза, 3 — два раза: мода 4. в) Число 0 встречается дважды, остальные по одному разу: мода 0.

Нет моды, например, у ряда 1, 2, 3, 4 (все числа встречаются по одному разу) или у ряда 1, 1, 2, 2 (два значения встречаются одинаково часто).

Четвёрка встречается 7 раз, пятёрка — 3 раза, поэтому мода равна 4.

Каждый называет один любимый предмет, ответы записывают в таблицу частот. Пример для класса из 25 человек: математика — 6, физкультура — 7, история — 4, биология — 3, литература — 3, информатика — 2. Мода этого (нечислового!) набора — физкультура: её назвали чаще всего. Если бы два предмета набрали по 7 голосов, моды бы не было.

Частное от деления суммы всех чисел набора на их количество: \( \bar x = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \). Если набор задан таблицей частот, среднее равно сумме произведений значений на их частоты.

а) \( \dfrac{7 \cdot 5}{7} = 5 \). б) \( \dfrac{4+3+4+3}{4} = \dfrac{14}{4} = 3{,}5 \). в) \( \dfrac{4+3+4+3+4}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6 \).

\( \bar x = \dfrac{7 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{10} = \dfrac{28 + 15}{10} = 4{,}3 \).

Медиана — число, которое окажется посередине набора, если записать все его числа по возрастанию: при нечётном количестве чисел это среднее по счёту число, при чётном — среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. Общее определение: медиана — такое число \( m \), что не менее 50 % чисел набора \( \le m \) и не менее 50 % чисел \( \ge m \).

а) Все числа равны 5, медиана 5. б) По возрастанию: 3, 3, 4, 4; посередине 3 и 4, медиана \( \dfrac{3+4}{2} = 3{,}5 \). в) По возрастанию: 3, 3, 3, 4, 4; посередине (третье число) стоит 3 — медиана 3.

Упорядоченный ряд: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 — десять чисел; пятое и шестое равны 4, поэтому медиана равна 4.

Например, 1, 2, 3, 3, 4, 5: мода 3 (встречается дважды), медиана \( \dfrac{3+3}{2} = 3 \), среднее \( \dfrac{18}{6} = 3 \). Ещё проще — ряд из одинаковых чисел 7, 7, 7: все три характеристики равны 7.

Например, 1, 1, 2, 5, 6, 9: мода 1, медиана \( \dfrac{2+5}{2} = 3{,}5 \), среднее \( \dfrac{24}{6} = 4 \).

Разумнее всего сравнивать средние арифметические отметок: среднее учитывает каждую отметку, а у школьных отметок выбросов почти не бывает (все они от 2 до 5), так что главный недостаток среднего здесь не страшен. Медиана и мода различают учеников хуже: у многих хорошистов медиана и мода одинаковы (4), а среднее покажет, у кого пятёрок больше. Если два ученика имеют одинаковое среднее, можно дополнительно сравнить медианы или результаты контрольных работ.

Средним гармоническим набора из \( n \) положительных чисел \( x_1, \ldots, x_n \) называют число \( H \), для которого \( \dfrac{n}{H} = \dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n} \), то есть \( H = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \). Для двух чисел \( H = \dfrac{2ab}{a+b} \).

1) Среднее гармоническое набора одинаковых чисел равно этому числу. 2) Оно всегда лежит между наименьшим и наибольшим числами набора. 3) Оно не больше среднего арифметического тех же чисел, причём равенство достигается только тогда, когда все числа набора одинаковы. 4) Среднее гармоническое даёт среднюю скорость движения, когда одинаковые участки пути проходятся с разными скоростями.

а) Все числа равны 2, поэтому \( H = 2 \). б) \( H = \dfrac{2}{\frac{1}{1/2} + \frac{1}{1/4}} = \dfrac{2}{2 + 4} = \dfrac{1}{3} \). в) \( H = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 \) (меньше среднего арифметического 3).

Пусть весь путь \( 2s \). Время: \( \dfrac{s}{60} + \dfrac{s}{40} \). Средняя скорость \( v = \dfrac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = \dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \dfrac{4800}{100} = 48 \) км/ч — среднее гармоническое скоростей, а не среднее арифметическое (50 км/ч).

Речь об отметках трёх учеников из пункта 3 § 1 (5, 2, 4, 5, …; 3, 3, 2, 3, …; 2, 3, 2, 4, 5, …). В каждом ряду наибольшая отметка 5, наименьшая 2, поэтому размах всех трёх рядов одинаков: \( 5 - 2 = 3 \). Это показывает, что размах не различает наборы с разным распределением значений.

Может — когда наибольшее и наименьшее значения совпадают, то есть все числа набора одинаковы. Например, ряд 7, 7, 7, 7: размах \( 7 - 7 = 0 \).

Наибольшая отметка 5, наименьшая 4: размах \( 5 - 4 = 1 \).

Всегда нулю. Сумма отклонений \( (x_1 - \bar x) + \ldots + (x_n - \bar x) = (x_1 + \ldots + x_n) - n\bar x = n\bar x - n\bar x = 0 \), поэтому и её среднее арифметическое равно 0. Именно поэтому среднее отклонение не годится как мера разброса.

Дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений чисел набора от их среднего значения: \( S^2 = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + \ldots + (x_n - \bar x)^2}{n} \).

В обоих случаях все числа набора одинаковы. Размах 0 означает, что наибольшее число равно наименьшему. Дисперсия — среднее неотрицательных слагаемых \( (x_i - \bar x)^2 \); она равна 0, только если каждое слагаемое равно 0, то есть каждое \( x_i = \bar x \).

Дисперсия измеряется в квадрате единиц набора: если данные в метрах, дисперсия — в квадратных метрах, если в рублях — в «квадратных рублях». Чтобы вернуться к исходным единицам, из дисперсии извлекают квадратный корень — получают стандартное отклонение.

По определению: \( S^2 = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + (x_2 - \bar x)^2 + \ldots + (x_n - \bar x)^2}{n} \). Через средний квадрат: \( S^2 = \overline{x^2} - (\bar x)^2 \), где \( \overline{x^2} = \dfrac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n} \) — среднее арифметическое квадратов чисел.

Среднее \( \bar x = \dfrac{10}{4} = 2{,}5 \); средний квадрат \( \overline{x^2} = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = 7{,}5 \). Дисперсия \( S^2 = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25 \).

Так как дисперсия неотрицательна, \( \overline{x^2} - (\bar x)^2 \ge 0 \), то есть среднее арифметическое квадратов чисел не меньше квадрата их среднего арифметического: \( \dfrac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n} \ge \left( \dfrac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right)^2 \). Равенство достигается тогда и только тогда, когда дисперсия равна 0, то есть все числа набора одинаковы.

Стандартное (среднее квадратичное) отклонение — квадратный корень из дисперсии: \( S = \sqrt{S^2} \). Оно измеряется в тех же единицах, что и данные, и показывает, насколько в среднем значения набора отклоняются от среднего арифметического.

Пример для набора из 12 отметок по алгебре в A1:A12: 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5.

Мода и медиана равны 4, среднее 4,17 округляется до 4, стандартное отклонение меньше 1 — отметки стабильные. Итоговая отметка — 4. Если бы среднее оказалось, скажем, 4,6 при медиане 5, можно было бы претендовать на 5.

Ход работы. В A1:A25 вводим даты рождения (ЭТ распознаёт формат ДД.ММ.ГГГГ). В B1 — =СЕГОДНЯ()-A1, задаём ячейке числовой формат (иначе разность покажется как дата) и протягиваем до B25: получаем возраст в днях. Далее: =МОДА(B1:B25), =СРЗНАЧ(B1:B25), =МЕДИАНА(B1:B25), размах =МАКС(B1:B25)-МИН(B1:B25). Межквартильный размах — разность третьего и первого квартилей: =КВАРТИЛЬ(B1:B25;3)-КВАРТИЛЬ(B1:B25;1); он показывает, в каком промежутке лежит «средняя половина» значений, и не зависит от выбросов.

Пример результата для класса, где ученики родились с сентября 2007 по октябрь 2008 г. (на 15.09.2024): среднее ≈ 6120 дней (16,8 года), медиана ≈ 6130 дней, моды, скорее всего, нет (все дни рождения разные; если два ученика родились в один день, мода — их возраст). Размах ≈ 400 дней (самому старшему на 13 месяцев больше, чем самому младшему), межквартильный размах ≈ 180 дней. Чтобы перевести дни в годы, делим на 365,25.

Анализ. Среднее и медиана близки — распределение возрастов почти симметрично; размах около года естествен для одного класса; если кто-то пошёл в школу раньше или позже, он окажется выбросом, и это сразу видно по размаху, но не по межквартильному размаху.