Мода
Мода — число, которое встречается в наборе чаще всех остальных. Если два или больше значений встречаются одинаково часто (и чаще прочих), говорят, что у набора нет моды. Моду можно найти и для нечислового набора (самый популярный ответ в опросе). В электронной таблице — функция МОДА(диапазон).
Среднее арифметическое
Частное от деления суммы чисел набора на их количество. Учитывает каждое значение, но чувствительно к выбросам — слишком большим или слишком маленьким числам. Физический смысл — «центр тяжести» набора. По таблице частот среднее считают, умножая каждое значение на число повторений или на частоту. В ЭТ — функция СРЗНАЧ(диапазон).
\( \bar x = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = x_1\nu_1 + x_2\nu_2 + \ldots + x_k\nu_k \)
Медиана
Число, стоящее посередине набора, записанного по возрастанию: при нечётном количестве чисел — среднее по счёту, при чётном — среднее арифметическое двух средних. Общее определение: медиана — такое число \( m \), что хотя бы 50 % чисел набора \( \le m \) и хотя бы 50 % чисел \( \ge m \). По таблице частот медиану находят по накопленной частоте: медиана — то значение, на котором накопленная частота впервые достигает или превышает 0,5. Медиана устойчива к выбросам. В ЭТ — функция МЕДИАНА(диапазон).
Какая средняя характеристика лучше
Универсального ответа нет. Мода хороша, когда из набора нужно выбрать ровно одно значение (победитель голосования), но может отсутствовать или быть малоинформативной. Среднее арифметическое учитывает все значения, но искажается выбросами. Медиана не реагирует на выбросы, но не «чувствует» изменения значений, не пересекающих её.
Среднее гармоническое
Для положительных чисел \( x_1, \ldots, x_n \) среднее гармоническое \( H \) определяется равенством \( \dfrac{n}{H} = \dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n} \). Именно оно даёт среднюю скорость на пути «туда и обратно». Свойства: для одинаковых чисел равно этому числу; лежит между наименьшим и наибольшим числами набора; всегда не больше среднего арифметического, равенство — только если все числа одинаковы.
\( H = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}, \qquad H(a, b) = \dfrac{2ab}{a + b}, \qquad H(a,b,c) = \dfrac{3abc}{ab + bc + ac} \)
Наибольшее и наименьшее значения. Размах
Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора; простейшая мера разброса данных. Он чувствителен к выбросам и не учитывает, как часто встречаются значения. В ЭТ: МАКС(диапазон) − МИН(диапазон).
\( R = x_{\max} - x_{\min} \)
Дисперсия и стандартное отклонение
Отклонения чисел от среднего \( x_i - \bar x \) в сумме всегда дают нуль, поэтому мерой разброса берут среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию \( S^2 \). Дисперсия неотрицательна и равна нулю только для набора одинаковых чисел; измеряется в «квадратных» единицах. Стандартное (среднее квадратичное) отклонение \( S = \sqrt{S^2} \) измеряется в тех же единицах, что и данные. Обычно в промежуток \( [\bar x - S;\ \bar x + S] \) попадает больше половины значений, а в \( [\bar x - 3S;\ \bar x + 3S] \) — практически все. В ЭТ: ДИСПР(диапазон), СТАНДОТКЛОНП(диапазон).
\( S^2 = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + (x_2 - \bar x)^2 + \ldots + (x_n - \bar x)^2}{n}, \qquad S = \sqrt{S^2} \)
Формула для вычисления дисперсии
Дисперсия равна среднему арифметическому квадратов чисел минус квадрат среднего арифметического. Формула удобна для наборов целых чисел с дробным средним: дробные числа появляются только на последнем шаге. Отсюда же следует неравенство \( \overline{x^2} \ge (\bar x)^2 \), обращающееся в равенство только для набора одинаковых чисел.
\( S^2 = \overline{x^2} - (\bar x)^2, \quad \text{где } \overline{x^2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n} \)
Как меняются характеристики при сдвиге и растяжении набора
Если ко всем числам прибавить одно и то же число \( c \), то мода, медиана и среднее увеличатся на \( c \), а размах, дисперсия и стандартное отклонение не изменятся. Если все числа умножить на \( c \), то мода, медиана, среднее, размах и стандартное отклонение умножатся на \( c \) (при \( c > 0 \)), а дисперсия — на \( c^2 \).
\( S^2(x + c) = S^2(x), \qquad S^2(cx) = c^2 S^2(x), \qquad S(cx) = |c| \cdot S(x) \)
