Среднее \( \bar x = \dfrac{10 + x}{5} \), средний квадрат \( \overline{x^2} = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + x^2}{5} = \dfrac{30 + x^2}{5} \).
\[ S^2 = \dfrac{30 + x^2}{5} - \dfrac{(10 + x)^2}{25} = \dfrac{150 + 5x^2 - 100 - 20x - x^2}{25} = \dfrac{4x^2 - 20x + 50}{25} = 0{,}16x^2 - 0{,}8x + 2. \]
Стандартное отклонение \( S = \sqrt{0{,}16x^2 - 0{,}8x + 2} = \dfrac{\sqrt{4x^2 - 20x + 50}}{5} \).
Минимум. Дисперсия — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, его наименьшее значение достигается в вершине параболы \( x_0 = \dfrac{0{,}8}{2 \cdot 0{,}16} = 2{,}5 \): \( S^2_{\min} = 0{,}16 \cdot 6{,}25 - 0{,}8 \cdot 2{,}5 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \), \( S_{\min} = 1 \). Не случайно \( 2{,}5 \) — среднее чисел 1, 2, 3, 4: добавление к набору числа, равного его среднему, меньше всего «раздвигает» набор. Стандартное отклонение достигает минимума при том же \( x = 2{,}5 \), так как корень — возрастающая функция.
Графики. Дисперсия — парабола с вершиной (2,5; 1), ветви вверх; стандартное отклонение — кривая с минимумом (2,5; 1), при больших \( |x| \) приближающаяся к прямым \( y = \pm 0{,}4(x - 2{,}5) \).
Ответ: \( S^2 = 0{,}16x^2 - 0{,}8x + 2 \), \( S = \sqrt{0{,}16x^2 - 0{,}8x + 2} \); минимум при \( x = 2{,}5 \), он равен 1 для обеих характеристик.