В отделении банка стоят два банкомата. Первый может выдавать и принимать купюры, второй — только выдавать. Вероятность, что к концу дня купюры закончатся в первом автомате, равна 0,1, а что закончатся во втором, — 0,3. Вероятность, что они закончатся в двух автоматах, — 0,06. Найдите вероятность того, что к концу дня купюры: а) останутся в обоих автоматах; б) останутся хотя бы в одном автомате; в) закончатся хотя бы в одном автомате; г) закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся; д) закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся.
Найдите вероятности а)–д).
Ответ
Пусть \( A = \) «купюры закончатся в первом», \( B = \) «закончатся во втором»: \( P(A) = 0{,}1 \), \( P(B) = 0{,}3 \), \( P(A \cap B) = 0{,}06 \).
в) Закончатся хотя бы в одном — \( A \cup B \): \( P = 0{,}1 + 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}34 \).
а) Останутся в обоих — событие, противоположное к \( A \cup B \): \( P = 1 - 0{,}34 = 0{,}66 \).
б) Останутся хотя бы в одном — противоположно «закончатся в обоих»: \( P = 1 - 0{,}06 = 0{,}94 \).
г) Закончатся только во втором — \( \bar A \cap B \): \( P = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}24 \).
д) Закончатся только в первом — \( A \cap \bar B \): \( P = 0{,}1 - 0{,}06 = 0{,}04 \).
Если из \( n \) равновозможных исходов \( m \) благоприятны для \( A \), то для \( \bar A \) благоприятны \( n - m \) исходов, откуда \( P(\bar A) = \dfrac{n-m}{n} = 1 - P(A) \). Для неравновозможных исходов та же формула получается из соотношения для частот \( F(\bar A) = 1 - F(A) \). Формулу удобно применять, когда противоположное событие проще исходного: «хотя бы один» — «ни одного».
\( P(\bar A) = 1 - P(A) \)
Формула суммы для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (не имеют общих исходов), то объединение содержит \( n_A + n_B \) исходов и вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Два важных условия: формула верна только для несовместных событий, и сумма событий — это объединение множеств, а не сумма чисел. Складывать вероятности совместных событий нельзя: можно получить результат больше 1.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \), если \( A \cap B = \varnothing \)
Формула суммы для произвольных событий
Для любых событий из формулы включения-исключения \( n_{A+B} = n_A + n_B - n_{AB} \) следует, что вероятность объединения равна сумме вероятностей минус вероятность пересечения (общие исходы при сложении посчитаны дважды). Для несовместных событий \( P(AB) = 0 \), и формула переходит в предыдущую. Следствия: \( P(A + B) \le P(A) + P(B) \); события с \( P(A) + P(B) > 1 \) не могут быть несовместными; \( P(A\bar B) = P(A) - P(AB) \).
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Переход к противоположному событию и закон де Моргана
Если даны вероятности «отрицательных» событий (кофе закончится в первом автомате, во втором, в обоих), а найти нужно вероятность «положительного» (кофе останется в обоих), удобно перейти к противоположному событию: \( P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\bar A \cup \bar B) \), а последнюю вероятность найти по формуле суммы. Аналогично \( P(A \cup B) = 1 - P(\bar A \cap \bar B) \).
\( P(A \cap B) = 1 - P(\bar A \cup \bar B) = 1 - \big(P(\bar A) + P(\bar B) - P(\bar A \cap \bar B)\big) \)
Задачи с числовыми промежутками
Если события вида «величина больше \( a \)» и «величина меньше \( b \)» при \( a < b \) вместе покрывают все исходы, то \( P(A \cup B) = 1 \) и вероятность попадания в промежуток \( (a; b) \) равна \( P(A) + P(B) - 1 \). Если известны вероятности «больше 7» и «больше 8», то «ровно 8» — их разность. Для оценок: из \( A \subseteq B \) следует \( P(A) \le P(B) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
