Связный граф без циклов. Между любыми двумя его вершинами есть ровно одна цепь; в дереве с \( n \) вершинами \( n - 1 \) ребро. Дерево эксперимента — корневое дерево: корень — начало опыта, вершины — состояния, листья — исходы.
2.
Какие вершины на дереве вероятностей соответствуют элементарным событиям?
Ответ
Конечные вершины — листья, из которых не выходит ни одного ребра: в них эксперимент завершается, и каждый лист — один из исходов (элементарных событий) опыта.
3.
Как с помощью дерева вероятностей вычислить вероятность элементарного события?
Ответ
Нужно перемножить вероятности, записанные на всех рёбрах единственной цепи, ведущей из корня в соответствующий лист (правило умножения). Например, для вершины РРО дерева с монетой \( \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac18 \), для вершины ННС в опыте с грушами \( \frac38 \cdot \frac27 \cdot \frac56 = \frac{5}{56} \).
4.
Как с помощью дерева вероятностей вычислить вероятность произвольного случайного события?
Ответ
Найти все листья, благоприятные для события, вычислить вероятность каждого (перемножив вероятности вдоль ветки) и сложить полученные числа. Например, для события «орёл появится» в опыте с тремя бросками до первого орла: \( \frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac78 \).
Пункт 2. Формула полной вероятности
1.
Что такое полная группа событий?
Ответ
Набор событий \( H_1, H_2, \ldots, H_n \), которые попарно несовместны, а их объединение равно множеству всех исходов \( \Omega \). Иначе говоря, в каждом опыте происходит ровно одно из этих событий; полная группа — разбиение \( \Omega \) на непересекающиеся части.
2.
Приведите пример полной группы событий.
Ответ
Любое событие и противоположное к нему: \( H \) и \( \bar H \). Для кубика — события «выпало 1», «выпало 2», …, «выпало 6». Для смартфона — «выпущен на первом заводе», «на втором», «на третьем». Для двух бросков монеты — ОО, ОР, РО, РР.
3.
Запишите формулу полной вероятности.
Ответ
Если \( H_1, \ldots, H_n \) — полная группа событий, то для любого события \( A \)
В частности, \( P(A) = P(H)P(A \mid H) + P(\bar H)P(A \mid \bar H) \).
4.
В каких границах лежит P(A) в формуле полной вероятности?
Ответ
Между наименьшей и наибольшей из условных вероятностей \( P(A \mid H_i) \): \( P(A) \) — это среднее условных вероятностей, взятых с весами \( P(H_i) \), сумма которых равна 1 (см. упражнение 198). Например, в задаче о смартфонах \( 0{,}01 \le 0{,}019 \le 0{,}04 \).
Пункт 3. Формула Байеса
1.
В какой ситуации применяется формула Байеса и что позволяет вычислить?
Ответ
Когда известны вероятности гипотез \( H_1, \ldots, H_n \) (полной группы) и условные вероятности события \( A \) при каждой гипотезе, а затем становится известно, что событие \( A \) произошло. Формула Байеса позволяет пересчитать вероятности гипотез с учётом этой новой информации — найти \( P(H_k \mid A) \), то есть по свершившемуся следствию оценить вероятность каждой возможной причины: на каком заводе сделан бракованный смартфон, болен ли пациент с положительным результатом теста.
2.
Что такое априорные и апостериорные вероятности гипотез?
Ответ
Априорные (от лат. a priori — «до опыта») — вероятности гипотез \( P(H_k) \), известные до проведения опыта. Апостериорные (a posteriori — «после опыта») — условные вероятности \( P(H_k \mid A) \) тех же гипотез после того, как опыт завершился событием \( A \). Формула Байеса переводит априорные вероятности в апостериорные.
Знаменатель — вероятность \( P(A) \) по формуле полной вероятности; аналогично \( P(\bar H \mid A) = 1 - P(H \mid A) \).
Что применять при решении
Дерево вероятностей
Дерево случайного эксперимента, на рёбрах которого записаны вероятности переходов, называется деревом вероятностей. Для любой вершины (кроме листьев) сумма вероятностей на выходящих рёбрах равна 1. К каждой вершине ведёт единственная цепь из корня; вероятность попасть в вершину равна произведению вероятностей на рёбрах этой цепи (правило умножения). Вероятность любого события равна сумме вероятностей всех благоприятных для него листьев. Для зависимых событий на рёбрах пишут условные вероятности очередного события при условии всех предыдущих в цепочке.
Набор событий \( H_1, H_2, \ldots, H_n \) называется полной группой, если они попарно несовместны, а их объединение равно \( \Omega \) — то есть в каждом опыте происходит ровно одно из них. Полная группа — разбиение множества исходов на непересекающиеся части. Простейший пример — пара \( H \) и \( \bar H \). Любое событие \( A \) полная группа разбивает на несовместные части: \( A = AH_1 + AH_2 + \ldots + AH_n \).
Формула полной вероятности
Безусловная вероятность события выражается через условные вероятности при каждой из гипотез полной группы: \( P(A) = P(AH_1) + \ldots + P(AH_n) \), а каждое слагаемое по правилу умножения равно \( P(H_i) P(A \mid H_i) \). На дереве вероятностей это сумма произведений вдоль всех веток, ведущих к \( A \). Значение \( P(A) \) всегда лежит между наименьшей и наибольшей из условных вероятностей — это взвешенное среднее с весами \( P(H_i) \). Пример: вероятность «счастливого» билета одинакова для любого по счёту ученика.
Формула Байеса пересматривает вероятности гипотез \( H_1, \ldots, H_n \) после того, как стало известно, что произошло событие \( A \): «переставляет причину и следствие» — по свершившемуся факту вычисляет вероятность его причины. Вероятности \( P(H_k) \) называют априорными (до опыта), \( P(H_k \mid A) \) — апостериорными (после опыта). Знаменатель — это \( P(A) \) по формуле полной вероятности; формула показывает, какую долю в общей вероятности всех веток, ведущих к \( A \), составляет ветка с гипотезой \( H_k \). Пример: положительный результат УЗИ при редкой болезни (1 из 1000) даёт лишь 8 % вероятности болезни; повторное независимое обследование поднимает её до 89 %.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
