ГДЗ: Упражнение 197 - § 10 (Полная вероятность и формула Байеса) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)
Глава 4. Сложение и умножение вероятностейСтраницы: 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120* Повышенная сложность
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94 % случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10 % пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Найдите вероятность.
Ответ
Пусть \( p \) — доля больных среди направленных на тест (\( P(H) = p \)). \( P(A \mid H) = 0{,}86 \), \( P(A \mid \bar H) = 1 - 0{,}94 = 0{,}06 \), где \( A \) — положительный тест. По формуле полной вероятности \( P(A) = 0{,}86p + 0{,}06(1 - p) = 0{,}8p + 0{,}06 \). По условию \( P(A) = 0{,}1 \), откуда \( 0{,}8p = 0{,}04 \), \( p = 0{,}05 \).
По формуле Байеса \( P(H \mid A) = \dfrac{P(H) P(A \mid H)}{P(A)} = \dfrac{0{,}05 \cdot 0{,}86}{0{,}1} = 0{,}43 \).
Ответ: 0,43.
Что применять при решении
Дерево вероятностей
Дерево случайного эксперимента, на рёбрах которого записаны вероятности переходов, называется деревом вероятностей. Для любой вершины (кроме листьев) сумма вероятностей на выходящих рёбрах равна 1. К каждой вершине ведёт единственная цепь из корня; вероятность попасть в вершину равна произведению вероятностей на рёбрах этой цепи (правило умножения). Вероятность любого события равна сумме вероятностей всех благоприятных для него листьев. Для зависимых событий на рёбрах пишут условные вероятности очередного события при условии всех предыдущих в цепочке.
Набор событий \( H_1, H_2, \ldots, H_n \) называется полной группой, если они попарно несовместны, а их объединение равно \( \Omega \) — то есть в каждом опыте происходит ровно одно из них. Полная группа — разбиение множества исходов на непересекающиеся части. Простейший пример — пара \( H \) и \( \bar H \). Любое событие \( A \) полная группа разбивает на несовместные части: \( A = AH_1 + AH_2 + \ldots + AH_n \).
Формула полной вероятности
Безусловная вероятность события выражается через условные вероятности при каждой из гипотез полной группы: \( P(A) = P(AH_1) + \ldots + P(AH_n) \), а каждое слагаемое по правилу умножения равно \( P(H_i) P(A \mid H_i) \). На дереве вероятностей это сумма произведений вдоль всех веток, ведущих к \( A \). Значение \( P(A) \) всегда лежит между наименьшей и наибольшей из условных вероятностей — это взвешенное среднее с весами \( P(H_i) \). Пример: вероятность «счастливого» билета одинакова для любого по счёту ученика.
Формула Байеса пересматривает вероятности гипотез \( H_1, \ldots, H_n \) после того, как стало известно, что произошло событие \( A \): «переставляет причину и следствие» — по свершившемуся факту вычисляет вероятность его причины. Вероятности \( P(H_k) \) называют априорными (до опыта), \( P(H_k \mid A) \) — апостериорными (после опыта). Знаменатель — это \( P(A) \) по формуле полной вероятности; формула показывает, какую долю в общей вероятности всех веток, ведущих к \( A \), составляет ветка с гипотезой \( H_k \). Пример: положительный результат УЗИ при редкой болезни (1 из 1000) даёт лишь 8 % вероятности болезни; повторное независимое обследование поднимает её до 89 %.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
