ГДЗ: Упражнение 198 - Параграф § 10 (Полная вероятность и формула Байеса) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

198 упражнение: ^*

Докажите, что в формуле полной вероятности безусловная вероятность \( P(A) \) всегда лежит в промежутке между минимальной и максимальной из условных вероятностей \( P(A \mid H_i) \).

Докажите утверждение.

Ответ

Обозначим \( p_i = P(H_i) \), \( q_i = P(A \mid H_i) \), \( m = \min q_i \), \( M = \max q_i \). События \( H_i \) образуют полную группу, поэтому \( p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1 \) и все \( p_i \ge 0 \).

Так как \( q_i \ge m \) для каждого \( i \), то \( P(A) = p_1 q_1 + \ldots + p_n q_n \ge p_1 m + \ldots + p_n m = m(p_1 + \ldots + p_n) = m \). Аналогично из \( q_i \le M \) следует \( P(A) \le M(p_1 + \ldots + p_n) = M \).

Итак, \( m \le P(A) \le M \), что и требовалось доказать. По сути \( P(A) \) — среднее арифметическое условных вероятностей с весами \( p_i \), а взвешенное среднее не может выйти за пределы усредняемых чисел.

Что применять при решении

Дерево вероятностей

Дерево случайного эксперимента, на рёбрах которого записаны вероятности переходов, называется деревом вероятностей. Для любой вершины (кроме листьев) сумма вероятностей на выходящих рёбрах равна 1. К каждой вершине ведёт единственная цепь из корня; вероятность попасть в вершину равна произведению вероятностей на рёбрах этой цепи (правило умножения). Вероятность любого события равна сумме вероятностей всех благоприятных для него листьев. Для зависимых событий на рёбрах пишут условные вероятности очередного события при условии всех предыдущих в цепочке.

\( P(\text{лист}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k, \qquad P(A) = \sum_{\text{благоприятные листья}} P(\text{лист}) \)

Полная группа событий

Набор событий \( H_1, H_2, \ldots, H_n \) называется полной группой, если они попарно несовместны, а их объединение равно \( \Omega \) — то есть в каждом опыте происходит ровно одно из них. Полная группа — разбиение множества исходов на непересекающиеся части. Простейший пример — пара \( H \) и \( \bar H \). Любое событие \( A \) полная группа разбивает на несовместные части: \( A = AH_1 + AH_2 + \ldots + AH_n \).

Формула полной вероятности

Безусловная вероятность события выражается через условные вероятности при каждой из гипотез полной группы: \( P(A) = P(AH_1) + \ldots + P(AH_n) \), а каждое слагаемое по правилу умножения равно \( P(H_i) P(A \mid H_i) \). На дереве вероятностей это сумма произведений вдоль всех веток, ведущих к \( A \). Значение \( P(A) \) всегда лежит между наименьшей и наибольшей из условных вероятностей — это взвешенное среднее с весами \( P(H_i) \). Пример: вероятность «счастливого» билета одинакова для любого по счёту ученика.

\( P(A) = P(H_1)P(A \mid H_1) + \ldots + P(H_n)P(A \mid H_n); \qquad P(A) = P(H)P(A \mid H) + P(\bar H)P(A \mid \bar H) \)

Формула Байеса

Формула Байеса пересматривает вероятности гипотез \( H_1, \ldots, H_n \) после того, как стало известно, что произошло событие \( A \): «переставляет причину и следствие» — по свершившемуся факту вычисляет вероятность его причины. Вероятности \( P(H_k) \) называют априорными (до опыта), \( P(H_k \mid A) \) — апостериорными (после опыта). Знаменатель — это \( P(A) \) по формуле полной вероятности; формула показывает, какую долю в общей вероятности всех веток, ведущих к \( A \), составляет ветка с гипотезой \( H_k \). Пример: положительный результат УЗИ при редкой болезни (1 из 1000) даёт лишь 8 % вероятности болезни; повторное независимое обследование поднимает её до 89 %.

\( P(H_k \mid A) = \dfrac{P(H_k) P(A \mid H_k)}{P(H_1)P(A \mid H_1) + \ldots + P(H_n)P(A \mid H_n)} \)

Другие упражнения из параграфа § 10

184 185 186 187 188 189^* 190^* 191^* 192^* 193^* 194^* 195^* 196^* 197^* 198^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4. Сложение и умножение вероятностей
Параграф: § 10 — Полная вероятность и формула Байеса
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.