1.
Как представить случайное событие в виде множества?
Ответ
Случайное событие — это множество благоприятных для него исходов опыта, то есть подмножество множества всех исходов \( \Omega \). Его можно описать словами или перечислить элементы: \( A = \) «выпадет чётное число» \( = \{2, 4, 6\} \). Достоверному событию отвечает всё множество \( \Omega \), невозможному — пустое множество.
2.
Из каких исходов состоит множество A, соответствующее событию A = «на кубике выпадет больше 3 очков»?
Ответ
\( A = \{4, 5, 6\} \).
3.
Изобразите на диаграмме Эйлера все исходы опыта с подбрасыванием кубика и события A = «выпадет больше 3 очков» и B = «выпадет меньше 5 очков».
Ответ
\( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A = \{4, 5, 6\} \), \( B = \{1, 2, 3, 4\} \). Рисуем прямоугольник \( \Omega \) и два пересекающихся круга. В общей части кругов — точка 4 (единственный исход, при котором происходят оба события); в круге \( A \) вне \( B \) — точки 5 и 6; в круге \( B \) вне \( A \) — точки 1, 2, 3. Вне обоих кругов точек нет: \( A \cup B = \Omega \).
Пункт 2. Противоположное событие
1.
Какое событие называется противоположным к событию A? Как оно обозначается?
Ответ
Противоположным к \( A \) (дополнением к \( A \)) называется событие, состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \), то есть неблагоприятных для \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \). Обозначается \( \bar A \).
2.
Какое событие будет противоположным к событию Ā?
Ответ
Само событие \( A \): дополнение к дополнению возвращает исходное множество, \( \bar{\bar A} = A \).
3.
Опишите событие, противоположное к событию A = «в трёх бросаниях монеты выпадет только решка». Сколько исходов содержит событие A? событие Ā?
Ответ
\( \bar A = \) «хотя бы один раз выпадет орёл». Всего исходов \( 2^3 = 8 \). Событие \( A \) содержит один исход — РРР, событие \( \bar A \) — остальные \( 8 - 1 = 7 \).
4.
Опишите событие, противоположное к событию A = «при подбрасывании трёх кубиков ни разу не выпадет шесть очков». Сколько исходов содержит событие A? событие Ā?
Ответ
\( \bar A = \) «хотя бы на одном кубике выпадет шесть очков». Всего исходов \( 6^3 = 216 \). В событии \( A \) на каждом кубике любое из пяти чисел от 1 до 5: \( 5^3 = 125 \) исходов. В \( \bar A \) — \( 216 - 125 = 91 \) исход.
Пункт 3. Пересечение событий
1.
Какое событие называется пересечением событий A и B? Как оно обозначается?
Ответ
Пересечение событий \( A \) и \( B \) — событие, состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий; оно происходит, когда происходят сразу оба события. Обозначается \( A \cap B \), а в теории вероятностей часто \( AB \) («произведение событий»).
2.
Как называются события, для которых A ∩ B = ∅?
Ответ
Несовместными: у них нет общих благоприятных исходов, и они не могут произойти одновременно в одном опыте. Например, «выпадет шестёрка» и «выпадет простое число».
3.
Монету бросают три раза. Запишите все благоприятные исходы для пересечения событий A = «выпадут ровно две решки» и B = «первый раз выпадет решка».
Ответ
\( A = \{\text{РРО}, \text{РОР}, \text{ОРР}\} \), \( B = \{\text{РРР}, \text{РРО}, \text{РОР}, \text{РОО}\} \). Общие исходы: \( A \cap B = \{\text{РРО}, \text{РОР}\} \) — ровно две решки, причём первая из них в первом броске.
4.
Бросают три кубика. Опишите пересечение событий A = «в сумме выпадет 5 очков» и B = «произведение очков будет равно 6».
Ответ
Сумма 5 на трёх кубиках получается только из наборов \( \{1, 1, 3\} \) (произведение 3) и \( \{1, 2, 2\} \) (произведение 4). Произведение 6 дают наборы \( \{1, 1, 6\} \) (сумма 8) и \( \{1, 2, 3\} \) (сумма 6). Общих исходов нет: \( A \cap B = \varnothing \), события несовместны.
Пункт 4. Объединение событий
1.
Какое событие называется объединением событий A и B? Как оно обозначается?
Ответ
Объединение событий \( A \) и \( B \) — событие, состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий; оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий \( A \) или \( B \). Обозначается \( A \cup B \) или \( A + B \) («сумма событий»).
2.
Приведите пример событий, для которых A ∪ B = Ω.
Ответ
Любое событие и противоположное к нему: \( A = \) «выпадет чётное число», \( B = \bar A = \) «выпадет нечётное число». Не обязательно брать противоположные события: \( A = \) «выпадет больше 3 очков» \( = \{4, 5, 6\} \) и \( B = \) «выпадет меньше 5 очков» \( = \{1, 2, 3, 4\} \) тоже в объединении дают \( \Omega \), хотя пересекаются.
3.
Монету бросают три раза. Запишите все благоприятные исходы для объединения событий A = «выпадут ровно две решки» и B = «первый раз выпадет решка».
Ответ
\( A = \{\text{РРО}, \text{РОР}, \text{ОРР}\} \), \( B = \{\text{РРР}, \text{РРО}, \text{РОР}, \text{РОО}\} \). \( A \cup B = \{\text{РРО}, \text{РОР}, \text{ОРР}, \text{РРР}, \text{РОО}\} \) — 5 исходов. Проверка по формуле включения-исключения: \( 3 + 4 - 2 = 5 \).
4.
Бросают три кубика. Сколько исходов содержит объединение событий A = «в сумме выпадет 5 очков» и B = «произведение очков будет равно 6»?
Ответ
Событие \( A \): набор \( \{1, 1, 3\} \) даёт 3 исхода (тройка может быть на любом кубике), набор \( \{1, 2, 2\} \) — тоже 3; всего \( n_A = 6 \). Событие \( B \): набор \( \{1, 1, 6\} \) — 3 исхода, набор \( \{1, 2, 3\} \) — \( 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) исходов; \( n_B = 9 \). Пересечение пусто (предыдущий пункт), поэтому \( n_{A \cup B} = 6 + 9 - 0 = 15 \).
Пункт 5. События, формулы и диаграммы
1.
Из ящика, в котором находятся три красных и три зелёных яблока, наугад вынимают три яблока. События A1, A2, A3 означают, что первое, второе и третье яблоко окажутся красными. Опишите словами события: A1 ∩ A2 ∩ A3, A1 ∪ A2 ∪ A3, (A1 ∪ A2) ∩ A3, (A1 ∪ A2) ∪ A3.
Ответ
\( A_1 \cap A_2 \cap A_3 \) — все три яблока красные.
\( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \) — хотя бы одно из трёх яблок красное.
\( (A_1 \cup A_2) \cap A_3 \) — третье яблоко красное и хотя бы одно из первых двух тоже красное.
\( (A_1 \cup A_2) \cup A_3 \) — хотя бы одно яблоко красное (то же событие, что и второе: объединение можно выполнять в любом порядке).
2.
Сегодня два урока математики, на каждом из которых вас могут вызвать к доске. Событие A означает, что вас вызовут на первом уроке, событие B — на втором. Запишите через них события: «вас сегодня не вызовут к доске»; «вас сегодня хотя бы раз вызовут к доске»; «вас вызовут только на втором уроке»; «вас вызовут только на одном уроке».
Ответ
«Не вызовут» — не вызовут ни на первом, ни на втором: \( \bar A \cap \bar B = \overline{A \cup B} \).
«Хотя бы раз вызовут» — \( A \cup B \).
«Только на втором» — на первом не вызовут, на втором вызовут: \( \bar A \cap B \).
«Только на одном» — либо только на первом, либо только на втором: \( (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) \), или \( A\bar B + \bar A B \).
Что применять при решении
События и множества
Любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов. Роль универсума играет множество всех исходов опыта \( \Omega \) — достоверное событие; пустое множество \( \varnothing \) — невозможное событие. Соотношения между событиями показывают на диаграммах Эйлера: события — круги (или прямоугольники), исходы — точки. Если у двух событий нет общих исходов, их круги не пересекаются; если одно событие влечёт другое, его круг лежит внутри.
Противоположное событие
Дополнением к событию \( A \), или противоположным событием, называется событие \( \bar A \), состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \); событие, противоположное к \( \bar A \), — само \( A \). Противоположное событие строят как дополнение множества или как логическое отрицание высказывания. Типичные ошибки: «не забьёт ни одного гола» отрицается как «забьёт хотя бы один гол» (а не «забьёт один гол»); «„Спартак“ выиграет» отрицается как «„Спартак“ не выиграет», то есть «„Динамо“ выиграет или ничья».
\( \bar A = \Omega \setminus A, \qquad \bar{\bar A} = A \)
Пересечение (произведение) событий
Пересечением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cap B \) (в теории вероятностей часто пишут \( AB \)), состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий. Оно происходит, когда происходят сразу оба события — логическое «и». Если пересечение пусто, события называют несовместными: они не могут произойти одновременно в одном опыте. Если \( B \subseteq A \), то \( A \cap B = B \).
\( A \cap B = AB;\qquad A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A, B \text{ несовместны} \)
Объединение (сумма) событий
Объединением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cup B \) (или \( A + B \)), состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий — логическое «или». Пересечение всегда содержится в объединении. Общие исходы в объединении не повторяются, отсюда формула включения-исключения для числа исходов.
\( n_{A \cup B} = n_A + n_B - n_{AB} \)
Законы де Моргана и выражение событий через другие
Отрицание объединения равно пересечению отрицаний, отрицание пересечения — объединению отрицаний. Это позволяет выражать сложные события через простые: «оба попадут» — \( AB \); «хотя бы один попадёт» — \( A + B \); «оба промахнутся» — \( \bar A \bar B = \overline{A + B} \); «хотя бы один промахнётся» — \( \bar A + \bar B = \overline{AB} \). Для трёх экзаменов: «сдаст все» — \( ABC \); «не сдаст ни одного» — \( \bar A \bar B \bar C \); «сдаст не все» — \( \overline{ABC} = \bar A + \bar B + \bar C \); «сдаст хотя бы два» — \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC + ABC \).
\( \overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B, \qquad \overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
