ГДЗ: Упражнение 141 - Параграф § 7 (Операции над событиями) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

141 упражнение: ^*

Команде знатоков в телевизионной игре «Что? Где? Когда?» предстоит сыграть 3 матча с телезрителями. События \( A, B, C \) означают, что соответствующий матч закончится победой знатоков. Опишите словами события, изображённые на диаграммах Эйлера — Венна (рис. 72).

На рисунке 72 три пересекающихся круга \( A, B, C \) и закрашены: а) части каждого круга, не входящие в два других круга; б) попарные пересечения кругов без общей части всех трёх; в) все три круга целиком; г) часть круга \( A \), лежащая вне круга \( B \); д) всё, что лежит вне трёх кругов; е) общая часть всех трёх кругов.

Опишите словами события а)–е).

Ответ

а) Исход попадает ровно в один круг: знатоки выиграют ровно одну игру из трёх. Формула: \( A\bar B\bar C + \bar A B \bar C + \bar A \bar B C \).
б) Исход попадает ровно в два круга: знатоки выиграют ровно две игры. Формула: \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC \).
в) Исход попадает хотя бы в один круг: знатоки выиграют хотя бы одну игру. Формула: \( A + B + C \).
г) Исход в круге \( A \), но не в \( B \): знатоки выиграют первую игру, но проиграют вторую (результат третьей любой). Формула: \( A\bar B \).
д) Исход вне всех кругов: знатоки проиграют все три игры — все игры выиграют телезрители. Формула: \( \bar A \bar B \bar C \).
е) Исход во всех трёх кругах: знатоки выиграют все три игры. Формула: \( ABC \).

Что применять при решении

События и множества

Любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов. Роль универсума играет множество всех исходов опыта \( \Omega \) — достоверное событие; пустое множество \( \varnothing \) — невозможное событие. Соотношения между событиями показывают на диаграммах Эйлера: события — круги (или прямоугольники), исходы — точки. Если у двух событий нет общих исходов, их круги не пересекаются; если одно событие влечёт другое, его круг лежит внутри.

Противоположное событие

Дополнением к событию \( A \), или противоположным событием, называется событие \( \bar A \), состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \); событие, противоположное к \( \bar A \), — само \( A \). Противоположное событие строят как дополнение множества или как логическое отрицание высказывания. Типичные ошибки: «не забьёт ни одного гола» отрицается как «забьёт хотя бы один гол» (а не «забьёт один гол»); «„Спартак“ выиграет» отрицается как «„Спартак“ не выиграет», то есть «„Динамо“ выиграет или ничья».

\( \bar A = \Omega \setminus A, \qquad \bar{\bar A} = A \)

Пересечение (произведение) событий

Пересечением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cap B \) (в теории вероятностей часто пишут \( AB \)), состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий. Оно происходит, когда происходят сразу оба события — логическое «и». Если пересечение пусто, события называют несовместными: они не могут произойти одновременно в одном опыте. Если \( B \subseteq A \), то \( A \cap B = B \).

\( A \cap B = AB;\qquad A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A, B \text{ несовместны} \)

Объединение (сумма) событий

Объединением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cup B \) (или \( A + B \)), состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий — логическое «или». Пересечение всегда содержится в объединении. Общие исходы в объединении не повторяются, отсюда формула включения-исключения для числа исходов.

\( n_{A \cup B} = n_A + n_B - n_{AB} \)

Законы де Моргана и выражение событий через другие

Отрицание объединения равно пересечению отрицаний, отрицание пересечения — объединению отрицаний. Это позволяет выражать сложные события через простые: «оба попадут» — \( AB \); «хотя бы один попадёт» — \( A + B \); «оба промахнутся» — \( \bar A \bar B = \overline{A + B} \); «хотя бы один промахнётся» — \( \bar A + \bar B = \overline{AB} \). Для трёх экзаменов: «сдаст все» — \( ABC \); «не сдаст ни одного» — \( \bar A \bar B \bar C \); «сдаст не все» — \( \overline{ABC} = \bar A + \bar B + \bar C \); «сдаст хотя бы два» — \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC + ABC \).

\( \overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B, \qquad \overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \)

Другие упражнения из параграфа § 7

136 137 138 139 140 141^* 142^* 143^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4. Сложение и умножение вероятностей
Параграф: § 7 — Операции над событиями
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.