ГДЗ: Упражнение 139 - § 7 (Операции над событиями) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

Любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов. Роль универсума играет множество всех исходов опыта \( \Omega \) — достоверное событие; пустое множество \( \varnothing \) — невозможное событие. Соотношения между событиями показывают на диаграммах Эйлера: события — круги (или прямоугольники), исходы — точки. Если у двух событий нет общих исходов, их круги не пересекаются; если одно событие влечёт другое, его круг лежит внутри.

Дополнением к событию \( A \), или противоположным событием, называется событие \( \bar A \), состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \); событие, противоположное к \( \bar A \), — само \( A \). Противоположное событие строят как дополнение множества или как логическое отрицание высказывания. Типичные ошибки: «не забьёт ни одного гола» отрицается как «забьёт хотя бы один гол» (а не «забьёт один гол»); «„Спартак“ выиграет» отрицается как «„Спартак“ не выиграет», то есть «„Динамо“ выиграет или ничья».

Пересечением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cap B \) (в теории вероятностей часто пишут \( AB \)), состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий. Оно происходит, когда происходят сразу оба события — логическое «и». Если пересечение пусто, события называют несовместными: они не могут произойти одновременно в одном опыте. Если \( B \subseteq A \), то \( A \cap B = B \).

Объединением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cup B \) (или \( A + B \)), состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий — логическое «или». Пересечение всегда содержится в объединении. Общие исходы в объединении не повторяются, отсюда формула включения-исключения для числа исходов.

Отрицание объединения равно пересечению отрицаний, отрицание пересечения — объединению отрицаний. Это позволяет выражать сложные события через простые: «оба попадут» — \( AB \); «хотя бы один попадёт» — \( A + B \); «оба промахнутся» — \( \bar A \bar B = \overline{A + B} \); «хотя бы один промахнётся» — \( \bar A + \bar B = \overline{AB} \). Для трёх экзаменов: «сдаст все» — \( ABC \); «не сдаст ни одного» — \( \bar A \bar B \bar C \); «сдаст не все» — \( \overline{ABC} = \bar A + \bar B + \bar C \); «сдаст хотя бы два» — \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC + ABC \).