1.
Что называется условной вероятностью события A при условии события B? Как обозначается эта вероятность?
Ответ
Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность события \( A \), вычисленная при условии, что событие \( B \) произошло. Обозначается \( P(A \mid B) \). Вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной.
2.
Запишите формулу для вычисления условной вероятности.
Ответ
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \). Для опыта с равновозможными исходами это отношение числа исходов в пересечении к числу исходов события \( B \): \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \).
3.
Для каких случайных событий B не имеет смысла условная вероятность P(A | B)?
Ответ
Для событий с \( P(B) = 0 \) — в формуле на \( P(B) \) приходится делить. Это естественно: условная вероятность вычисляется в предположении, что \( B \) произошло, а событие нулевой вероятности не происходит.
4.
Чему равна условная вероятность P(A | Ω)?
Ответ
\( P(A \mid \Omega) = \dfrac{P(A \cap \Omega)}{P(\Omega)} = \dfrac{P(A)}{1} = P(A) \): условие «произошло достоверное событие» ничего не меняет, и условная вероятность совпадает с безусловной.
Пункт 2. Вероятность пересечения событий
1.
Запишите правило умножения для двух случайных событий A и B.
Ответ
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \). В качестве условия удобно выбирать то событие, которое происходит раньше.
2.
Запишите правило умножения для трёх случайных событий A, B и C.
Ответ
\( P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B) \): вероятность первого события умножаем на условную вероятность второго при условии первого и на условную вероятность третьего при условии первых двух.
3.
Если вероятность одного из двух событий A, B равна 0, то чему равна вероятность P(A ∩ B)?
Ответ
Нулю. Пересечение содержится в каждом из событий, поэтому \( P(A \cap B) \le P(A) \) и \( P(A \cap B) \le P(B) \); если одна из вероятностей равна 0, то и \( P(A \cap B) = 0 \). То же следует из правила умножения: один из множителей равен 0.
4.
Если вероятность одного из трёх событий A, B, C равна 0, то чему равна вероятность P(A ∩ B ∩ C)?
Ответ
Нулю: \( A \cap B \cap C \) содержится в каждом из трёх событий, а вероятность подмножества не больше вероятности множества.
Пункт 3. Независимые события
1.
Приведите примеры независимых событий.
Ответ
«На первой монете выпадет орёл» и «на второй монете выпадет орёл»; «на первом кубике выпадет 3» и «на втором выпадет 5»; «первый стрелок попадёт» и «второй стрелок попадёт»; «первый носок, вынутый с возвращением, красный» и «второй красный». В колоде из 36 карт независимы события «вытянута пика» и «вытянута дама»: \( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \).
2.
Приведите примеры зависимых событий.
Ответ
«Первый вынутый шар красный» и «второй вынутый шар красный» при извлечении без возвращения; «на первом кубике выпало 5» и «сумма очков на двух кубиках равна 6» (если выпало 5, сумма 6 возможна только при единице на втором кубике); «сумма очков равна 12» и «на первом кубике 6» (второе повышает шансы первого с \( \frac{1}{36} \) до \( \frac16 \)); «вытянута пика» и «вытянута дама» в колоде из 37 карт с добавленной тройкой пик; «первое воскресенье дождливое» и «второе воскресенье дождливое».
3.
Если события A и B независимы, то чему равна условная вероятность P(A | B)? условная вероятность P(B | A)?
Ответ
Условные вероятности совпадают с безусловными: \( P(A \mid B) = P(A) \) и \( P(B \mid A) = P(B) \) — наступление одного события не меняет вероятности другого.
4.
Запишите правило умножения для независимых событий.
Ответ
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \): вероятность пересечения независимых событий равна произведению их вероятностей. Для нескольких независимых событий \( P(A_1 A_2 \ldots A_n) = P(A_1) P(A_2) \ldots P(A_n) \).
Что применять при решении
Условная вероятность
Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).
Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)
Независимые события
Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Совместное применение правил сложения и умножения
Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.
\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
