ГДЗ: Упражнение 162 - Параграф § 9 (Умножение вероятностей) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

162 упражнение:

События \( A, B \), изображённые на диаграмме Эйлера — Венна (рис. 76), независимы и \( P(A) = 0{,}6 \), \( P(B) = 0{,}7 \). Найдите для каждого из четырёх непересекающихся событий, получившихся на диаграмме, соответствующую вероятность \( p_1, p_2, p_3, p_4 \).

На рисунке 76: \( p_1 \) — часть круга \( A \) вне \( B \); \( p_3 \) — общая часть кругов; \( p_2 \) — часть круга \( B \) вне \( A \); \( p_4 \) — область вне обоих кругов.

Найдите p1, p2, p3, p4.

Ответ

Для независимых событий \( p_3 = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42 \).

Круг \( A \) состоит из частей \( p_1 \) и \( p_3 \): \( p_1 = P(A) - p_3 = 0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}18 \). Аналогично \( p_2 = P(B) - p_3 = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28 \). Четыре части покрывают всё \( \Omega \): \( p_4 = 1 - 0{,}18 - 0{,}28 - 0{,}42 = 0{,}12 \).

Проверка: \( p_4 = P(\bar A \cap \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12 \) — противоположные к независимым событиям тоже независимы.

Ответ: \( p_1 = 0{,}18 \), \( p_2 = 0{,}28 \), \( p_3 = 0{,}42 \), \( p_4 = 0{,}12 \).

Что применять при решении

Условная вероятность

Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \ne 0 \)

Правило умножения вероятностей

Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)

Независимые события

Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Совместное применение правил сложения и умножения

Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.

\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)

Другие упражнения из параграфа § 9

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174^* 175^* 176^* 177^* 178^* 179^* 180^* 181^* 182^* 183^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4. Сложение и умножение вероятностей
Параграф: § 9 — Умножение вероятностей
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.