Турнир по теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков есть два друга. Какова вероятность того, что они встретятся между собой в каком-то туре?
Найдите вероятность встречи друзей.
Ответ
Способ 1. Считаем по турам. В первом туре соперник первого друга — любой из 15 игроков, поэтому \( P_1 = \dfrac{1}{15} \). Если в первом туре друзья не встретились (\( \dfrac{14}{15} \)), во второй тур оба выходят с вероятностью \( \dfrac12 \cdot \dfrac12 = \dfrac14 \), и среди 8 участников встречаются с вероятностью \( \dfrac17 \): \( P_2 = \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac17 = \dfrac{1}{30} \). Третий тур: \( P_3 = \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac67 \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac13 = \dfrac{1}{60} \). Финал: \( P_4 = \dfrac{14}{15} \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac67 \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac14 \cdot 1 = \dfrac{1}{120} \).
Способ 2. В турнире 16 участников и 15 матчей (после каждого выбывает один игрок). Все игроки равны, поэтому любая из \( \dfrac{16 \cdot 15}{2} = 120 \) пар игроков имеет одинаковые шансы сыграть между собой, а всего сыграет ровно 15 пар. \( P = \dfrac{15}{120} = \dfrac18 \).
Ответ: \( \dfrac18 = 0{,}125 \).
Что применять при решении
Условная вероятность
Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).
Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)
Независимые события
Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Совместное применение правил сложения и умножения
Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.
\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
