Бросают два кубика. Выясните, с какими из перечисленных ниже событий \( B, C, D \) независимо событие: \( A = \) «на первом кубике выпало 5 очков»; \( B = \) «максимальное из двух чисел чётно»; \( C = \) «сумма очков чётна»; \( D = \) «произведение очков чётно».
Установите независимость A с B, C, D.
Ответ
Сравним безусловную вероятность каждого события с условной при условии \( A \). Если на первом кубике 5, остаётся 6 равновозможных исходов — значения второго кубика.
Событие \( B \). Максимум равен 2 в 3 исходах, равен 4 в 7 исходах, равен 6 в 11 исходах: \( P(B) = \dfrac{21}{36} = \dfrac{7}{12} \). При условии \( A \) максимум чётен, только если на втором кубике 6: \( P(B \mid A) = \dfrac16 \ne \dfrac{7}{12} \). События зависимы.
Событие \( C \). \( P(C) = \dfrac{18}{36} = \dfrac12 \). При условии \( A \) сумма чётна, когда второе число нечётно: \( P(C \mid A) = \dfrac36 = \dfrac12 = P(C) \). События независимы.
Событие \( D \). Произведение нечётно только при двух нечётных числах (9 исходов), поэтому \( P(D) = \dfrac{27}{36} = \dfrac34 \). При условии \( A \) (первое число нечётно) произведение чётно, когда второе число чётно: \( P(D \mid A) = \dfrac12 \ne \dfrac34 \). События зависимы.
Ответ: \( A \) независимо только с \( C \); с \( B \) и \( D \) событие \( A \) зависимо.
Что применять при решении
Условная вероятность
Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).
Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)
Независимые события
Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Совместное применение правил сложения и умножения
Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.
\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
