ГДЗ: Упражнение 176 - Параграф § 9 (Умножение вероятностей) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

176 упражнение: ^*

Студенты Петров и Иванов посещают лекции независимо друг от друга, причём Петров чаще, чем Иванов. Установлено, что вероятность их совместного появления на лекции равна 0,02, а вероятность того, что ни один не придёт на лекцию, равна 0,72. Найдите вероятности появления на лекции для каждого из студентов.

Найдите вероятности появления Петрова и Иванова.

Ответ

Пусть \( p \) — вероятность появления Петрова, \( q \) — Иванова. События независимы, поэтому \( pq = 0{,}02 \) и \( (1 - p)(1 - q) = 0{,}72 \). Раскроем второе равенство: \( 1 - p - q + pq = 0{,}72 \), откуда \( p + q = 1 + 0{,}02 - 0{,}72 = 0{,}3 \).

Числа \( p \) и \( q \) — корни квадратного уравнения \( t^2 - 0{,}3t + 0{,}02 = 0 \): \( t = \dfrac{0{,}3 \pm \sqrt{0{,}09 - 0{,}08}}{2} = \dfrac{0{,}3 \pm 0{,}1}{2} \), то есть \( t = 0{,}2 \) или \( t = 0{,}1 \). Петров ходит чаще, значит, \( p = 0{,}2 \), \( q = 0{,}1 \).

Проверка: \( 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02 \), \( 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72 \).

Ответ: Петров — 0,2; Иванов — 0,1.

Что применять при решении

Условная вероятность

Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \ne 0 \)

Правило умножения вероятностей

Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)

Независимые события

Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Совместное применение правил сложения и умножения

Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.

\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)

Другие упражнения из параграфа § 9

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174^* 175^* 176^* 177^* 178^* 179^* 180^* 181^* 182^* 183^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4. Сложение и умножение вероятностей
Параграф: § 9 — Умножение вероятностей
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.