В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничьих не бывает. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда «Умники». С какой вероятностью эта команда выиграет четвёртый раунд?
Найдите вероятность победы «Умников» в четвёртом раунде.
Ответ
Расставим команды по силе: 1-я (сильнейшая), 2-я, …, 6-я. «Умники» победили трёх случайных соперников из пяти, значит, все трое слабее «Умников». Осталось два соперника; четвёртый раунд «Умники» выиграют, если очередной случайно выбранный из них слабее.
Пусть \( r \) — место «Умников» по силе; до начала игр все шесть мест равновозможны. Вероятность выиграть три случайные встречи при месте \( r \) равна доле троек соперников, состоящих только из более слабых команд (их \( 6 - r \)): при \( r = 1 \) — \( \dfrac{C_5^3}{C_5^3} = 1 \); при \( r = 2 \) — \( \dfrac{C_4^3}{10} = 0{,}4 \); при \( r = 3 \) — \( \dfrac{C_3^3}{10} = 0{,}1 \); при \( r \ge 4 \) — 0 (слабее «Умников» меньше трёх команд).
С учётом трёх побед шансы мест относятся как \( 1 : 0{,}4 : 0{,}1 \), то есть \( P(r = 1) = \dfrac{10}{15} \), \( P(r = 2) = \dfrac{4}{15} \), \( P(r = 3) = \dfrac{1}{15} \).
Если «Умники» сильнейшие, четвёртый раунд они выиграют наверняка. Если они вторые, то из двух оставшихся команд одна сильнее, другая слабее — победа с вероятностью \( \dfrac12 \). Если третьи, все три более слабые команды уже побеждены, оставшиеся две сильнее — победы не будет.
Условной вероятностью события \( A \) при условии события \( B \) называется вероятность \( A \), вычисленная при условии, что \( B \) произошло; обозначается \( P(A \mid B) \). Обычная вероятность \( P(A) \), вычисленная до опыта, называется безусловной; её можно считать условной относительно \( \Omega \): \( P(A \mid \Omega) = P(A) \). Когда известно, что \( B \) произошло, исходы вне \( B \) исключаются, а вероятности оставшихся растут. Для опыта с равновозможными исходами \( P(A \mid B) = \dfrac{n_{AB}}{n_B} \). Событие-условие не обязано предшествовать \( A \) во времени (сумма 6 на двух кубиках — условие для «оба числа чётные»).
Из определения условной вероятности: вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого. В качестве условия удобно брать событие, которое происходит раньше. Правило обобщается на три и более событий: \( P(ABC) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid AB) \). Пример: вероятность вынуть подряд два полных ореха из шести (три полных) равна \( \frac12 \cdot \frac25 = 0{,}2 \); вероятность открыть дверь одним из 5 ключей с любой попытки одинакова и равна \( \frac15 \).
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \)
Независимые события
Если \( P(A \mid B) = P(A) \), событие \( B \) не влияет на вероятность \( A \); тогда автоматически \( P(B \mid A) = P(B) \) — независимость взаимна. Определение: события \( A \) и \( B \) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Обычно независимость следует из условий опыта (разные монеты, кубики, стрелки), но иногда её нужно проверять по определению: в колоде из 36 карт события «пика» и «дама» независимы (\( \frac{1}{36} = \frac14 \cdot \frac19 \)), а если добавить тройку пик — уже зависимы.
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Совместное применение правил сложения и умножения
Для независимых событий \( A \) и \( B \) (стрелки с вероятностями попадания 0,6 и 0,8): «оба попадут» — \( P(AB) = 0{,}48 \); «хотя бы один попадёт» — \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}92 \); «оба промахнутся» — \( P(\bar A \bar B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 = 1 - 0{,}92 \); «хотя бы один промахнётся» — \( 1 - 0{,}48 = 0{,}52 \). Противоположные к независимым событиям тоже независимы. Ответ полезно проверять, вычисляя его двумя способами.
\( P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) \) для независимых \( A, B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
