Бросают два кубика. Найдите события, противоположные к следующим событиям: A = «на первом кубике выпадет больше очков, чем на втором»; B = «хотя бы на одном из кубиков выпадет чётное число очков»; C = «одно из выпавших чисел будет делиться на другое»; D = «оба выпавших числа будут простыми».
Опишите события, противоположные к A, B, C, D.
Ответ
\( \bar A = \) «на первом кубике выпадет не больше очков, чем на втором» (меньше или столько же). Ошибка — сказать «меньше»: забыты исходы с равными числами.
\( \bar B = \) «ни на одном кубике не выпадет чётное число», то есть «на обоих кубиках выпадут нечётные числа».
\( \bar C = \) «ни одно из выпавших чисел не делится на другое» (например, 4 и 6, 2 и 5). Заметим, что при равных числах событие \( C \) происходит — число делится само на себя.
\( \bar D = \) «хотя бы одно из выпавших чисел не будет простым» (напомним, простые числа на кубике — 2, 3, 5).
Что применять при решении
События и множества
Любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов. Роль универсума играет множество всех исходов опыта \( \Omega \) — достоверное событие; пустое множество \( \varnothing \) — невозможное событие. Соотношения между событиями показывают на диаграммах Эйлера: события — круги (или прямоугольники), исходы — точки. Если у двух событий нет общих исходов, их круги не пересекаются; если одно событие влечёт другое, его круг лежит внутри.
Противоположное событие
Дополнением к событию \( A \), или противоположным событием, называется событие \( \bar A \), состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \); событие, противоположное к \( \bar A \), — само \( A \). Противоположное событие строят как дополнение множества или как логическое отрицание высказывания. Типичные ошибки: «не забьёт ни одного гола» отрицается как «забьёт хотя бы один гол» (а не «забьёт один гол»); «„Спартак“ выиграет» отрицается как «„Спартак“ не выиграет», то есть «„Динамо“ выиграет или ничья».
\( \bar A = \Omega \setminus A, \qquad \bar{\bar A} = A \)
Пересечение (произведение) событий
Пересечением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cap B \) (в теории вероятностей часто пишут \( AB \)), состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий. Оно происходит, когда происходят сразу оба события — логическое «и». Если пересечение пусто, события называют несовместными: они не могут произойти одновременно в одном опыте. Если \( B \subseteq A \), то \( A \cap B = B \).
\( A \cap B = AB;\qquad A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A, B \text{ несовместны} \)
Объединение (сумма) событий
Объединением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cup B \) (или \( A + B \)), состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий — логическое «или». Пересечение всегда содержится в объединении. Общие исходы в объединении не повторяются, отсюда формула включения-исключения для числа исходов.
\( n_{A \cup B} = n_A + n_B - n_{AB} \)
Законы де Моргана и выражение событий через другие
Отрицание объединения равно пересечению отрицаний, отрицание пересечения — объединению отрицаний. Это позволяет выражать сложные события через простые: «оба попадут» — \( AB \); «хотя бы один попадёт» — \( A + B \); «оба промахнутся» — \( \bar A \bar B = \overline{A + B} \); «хотя бы один промахнётся» — \( \bar A + \bar B = \overline{AB} \). Для трёх экзаменов: «сдаст все» — \( ABC \); «не сдаст ни одного» — \( \bar A \bar B \bar C \); «сдаст не все» — \( \overline{ABC} = \bar A + \bar B + \bar C \); «сдаст хотя бы два» — \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC + ABC \).
\( \overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B, \qquad \overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
