ГДЗ: Упражнение 143 - Параграф § 7 (Операции над событиями) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

143 упражнение: ^*

На рисунке 73 дана электрическая схема соединения нагревательных элементов. События \( A_1, A_2, \ldots \) означают, что соответствующий элемент исправен и пропускает электрический ток. Событие \( A \) означает, что вся схема пропускает ток. Выразите событие \( A \) через \( A_1, A_2, \ldots \)

Схемы на рисунке 73: а) элементы 1, 2, 3 соединены параллельно; б) две параллельные ветви, в первой последовательно элементы 1, 2, 3, во второй — 4, 5, 6; в) элемент 1, за ним параллельно соединённые 2 и 3, затем элемент 4; г) параллельная пара 1, 2, за ней последовательно параллельная пара 3, 4; д) три параллельные ветви (1 и 2 последовательно; элемент 3; элемент 4), за ними последовательно элемент 5; е) «мостик»: верхняя ветвь — элементы 1 и 3, нижняя — элементы 2 и 4, элемент 5 соединяет середины ветвей (в учебнике нижний левый элемент по опечатке подписан цифрой 3).

Выразите событие A для каждой схемы.

Ответ

Правило: при последовательном соединении ток идёт, только если исправны все элементы — события перемножаются; при параллельном соединении достаточно одной исправной ветви — события складываются.

а) \( A = A_1 + A_2 + A_3 \).
б) Ветвь 1–2–3 работает при \( A_1 A_2 A_3 \), ветвь 4–5–6 — при \( A_4 A_5 A_6 \); ветви параллельны: \( A = A_1 A_2 A_3 + A_4 A_5 A_6 \).
в) Участок из 2 и 3 работает при \( A_2 + A_3 \); он последовательно соединён с 1 и 4: \( A = A_1 (A_2 + A_3) A_4 \).
г) \( A = (A_1 + A_2)(A_3 + A_4) \).
д) Три ветви: \( A_1 A_2 \), \( A_3 \), \( A_4 \); затем элемент 5: \( A = (A_1 A_2 + A_3 + A_4) A_5 \).
е) Ток может пройти четырьмя путями: по верхней ветви (1, затем 3), по нижней (2, затем 4), либо через мостик: 1 → 5 → 4 или 2 → 5 → 3. Схема работает, если хотя бы один путь исправен: \( A = A_1 A_3 + A_2 A_4 + A_1 A_5 A_4 + A_2 A_5 A_3 \).

Что применять при решении

События и множества

Любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов. Роль универсума играет множество всех исходов опыта \( \Omega \) — достоверное событие; пустое множество \( \varnothing \) — невозможное событие. Соотношения между событиями показывают на диаграммах Эйлера: события — круги (или прямоугольники), исходы — точки. Если у двух событий нет общих исходов, их круги не пересекаются; если одно событие влечёт другое, его круг лежит внутри.

Противоположное событие

Дополнением к событию \( A \), или противоположным событием, называется событие \( \bar A \), состоящее из всех исходов, не содержащихся в \( A \). Оно происходит всякий раз, когда не происходит \( A \); событие, противоположное к \( \bar A \), — само \( A \). Противоположное событие строят как дополнение множества или как логическое отрицание высказывания. Типичные ошибки: «не забьёт ни одного гола» отрицается как «забьёт хотя бы один гол» (а не «забьёт один гол»); «„Спартак“ выиграет» отрицается как «„Спартак“ не выиграет», то есть «„Динамо“ выиграет или ничья».

\( \bar A = \Omega \setminus A, \qquad \bar{\bar A} = A \)

Пересечение (произведение) событий

Пересечением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cap B \) (в теории вероятностей часто пишут \( AB \)), состоящее из всех исходов, благоприятных для обоих событий. Оно происходит, когда происходят сразу оба события — логическое «и». Если пересечение пусто, события называют несовместными: они не могут произойти одновременно в одном опыте. Если \( B \subseteq A \), то \( A \cap B = B \).

\( A \cap B = AB;\qquad A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A, B \text{ несовместны} \)

Объединение (сумма) событий

Объединением событий \( A \) и \( B \) называют событие \( A \cup B \) (или \( A + B \)), состоящее из всех исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Оно происходит, когда происходит хотя бы одно из событий — логическое «или». Пересечение всегда содержится в объединении. Общие исходы в объединении не повторяются, отсюда формула включения-исключения для числа исходов.

\( n_{A \cup B} = n_A + n_B - n_{AB} \)

Законы де Моргана и выражение событий через другие

Отрицание объединения равно пересечению отрицаний, отрицание пересечения — объединению отрицаний. Это позволяет выражать сложные события через простые: «оба попадут» — \( AB \); «хотя бы один попадёт» — \( A + B \); «оба промахнутся» — \( \bar A \bar B = \overline{A + B} \); «хотя бы один промахнётся» — \( \bar A + \bar B = \overline{AB} \). Для трёх экзаменов: «сдаст все» — \( ABC \); «не сдаст ни одного» — \( \bar A \bar B \bar C \); «сдаст не все» — \( \overline{ABC} = \bar A + \bar B + \bar C \); «сдаст хотя бы два» — \( AB\bar C + A\bar B C + \bar A BC + ABC \).

\( \overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B, \qquad \overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \)

Другие упражнения из параграфа § 7

136 137 138 139 140 141^* 142^* 143^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4. Сложение и умножение вероятностей
Параграф: § 7 — Операции над событиями
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.