ГДЗ: Упражнение 196 - § 10 (Полная вероятность и формула Байеса) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

Гипотезы — уровень подготовки: \( P(H_1) = \dfrac{10}{25} = 0{,}4 \), \( P(H_2) = 0{,}28 \), \( P(H_3) = 0{,}2 \), \( P(H_4) = 0{,}12 \). Ученику задают два разных вопроса из 30; событие \( A \) — ответил на оба. Условные вероятности:

• отлично: \( P(A \mid H_1) = 1 \);
• хорошо: \( \dfrac{20}{30} \cdot \dfrac{19}{29} = \dfrac{380}{870} \approx 0{,}4368 \);
• удовлетворительно: \( \dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{9}{29} = \dfrac{90}{870} \approx 0{,}1034 \);
• плохо: \( \dfrac{2}{30} \cdot \dfrac{1}{29} = \dfrac{2}{870} \approx 0{,}0023 \).

\( P(A) = 0{,}4 \cdot 1 + 0{,}28 \cdot 0{,}4368 + 0{,}2 \cdot 0{,}1034 + 0{,}12 \cdot 0{,}0023 \approx 0{,}4 + 0{,}1223 + 0{,}0207 + 0{,}0003 = 0{,}5433 \).

По формуле Байеса: \( P(H_1 \mid A) = \dfrac{0{,}4}{0{,}5433} \approx 0{,}736 \); \( P(H_2 \mid A) = \dfrac{0{,}1223}{0{,}5433} \approx 0{,}225 \); \( P(H_3 \mid A) = \dfrac{0{,}0207}{0{,}5433} \approx 0{,}038 \); \( P(H_4 \mid A) = \dfrac{0{,}0003}{0{,}5433} \approx 0{,}0005 \).

Ответ: ≈ 0,736; ≈ 0,225; ≈ 0,038; ≈ 0,0005.