ГДЗ: § 15 / Случайный выбор / Вероятность и статистика 10 класс

Это последовательность из \( k \) испытаний (\( k \le n \)), в каждом из которых из ящика с \( n \) неразличимыми на ощупь предметами наугад вынимают один предмет, причём перед следующим испытанием вынутый предмет в ящик не возвращают. Условия каждого следующего испытания зависят от предыдущих, поэтому это не испытания Бернулли.

Размещения из \( n \) по \( k \): упорядоченные наборы из \( k \) различных предметов (важно, какой предмет вынут первым, какой вторым и т. д.). Всего исходов \( A_n^k = n(n-1)\ldots(n-k+1) \), все они равновозможны.

Оба красные: \( \dfrac26 \cdot \dfrac15 = \dfrac{1}{15} \). Оба чёрные: \( \dfrac46 \cdot \dfrac35 = \dfrac{2}{5} \). (Через сочетания: \( \dfrac{C_2^2}{C_6^2} = \dfrac{1}{15} \), \( \dfrac{C_4^2}{C_6^2} = \dfrac{6}{15} \).)

Это одно испытание, в котором из ящика с \( n \) неразличимыми на ощупь предметами наугад вынимают сразу \( k \) предметов (\( k \le n \)). Порядок извлечения не рассматривается. Когда говорят «из \( n \) предметов наугад выбирают \( k \)», обычно имеют в виду именно эту модель.

Сочетания из \( n \) по \( k \) — \( k \)-элементные подмножества множества предметов. Всего исходов \( C_n^k \), все равновозможны.

\( C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15 \) способами.

Событие зависит от порядка, поэтому используем выбор без возвращения и формулу полной вероятности по первому пирожку: \( P(C) = \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac49 + \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac59 = \dfrac{20 + 25}{90} = \dfrac12 \). Тот же ответ даёт соображение симметрии: если не смотреть на первый пирожок, любой по счёту пирожок оказывается с капустой с той же вероятностью, что и первый.

Последовательность из \( k \) испытаний, в каждом из которых из ящика наугад вынимают один предмет и перед следующим испытанием возвращают его обратно. Число испытаний может быть любым — ограничение \( k \le n \) снимается.

После возвращения предмета состав ящика восстанавливается, поэтому вероятность успеха в каждом испытании одна и та же (например, \( \frac{3}{25} \) для щуки-долгожительницы), а результаты испытаний не влияют друг на друга — испытания независимы. Выполнены оба требования схемы Бернулли, и для подсчёта вероятностей годится формула Бернулли.

В социологии выборка, полученная случайным выбором без возвращения (каждый человек может попасть в неё не более одного раза), называется бесповторной; выборка, полученная выбором с возвращением (один и тот же объект может быть выбран повторно), — повторной.

Когда объём генеральной совокупности очень велик по сравнению с объёмом выборки: изъятие одного или даже сотни объектов практически не меняет состава совокупности, вероятность успеха после каждого испытания остаётся почти прежней (0,35 в примере с высшим образованием), и к такой выборке применимы формулы для испытаний Бернулли.

\( P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \).

Перестановки, в которых участвуют одинаковые элементы (например, буквы слова МАМА). Обмен одинаковых элементов не меняет перестановку, поэтому различных перестановок меньше, чем \( n! \): их число равно \( \dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\ldots} \), где \( k_1, k_2, \ldots \) — количества одинаковых элементов каждого вида (правило деления). Для слова МАТЕМАТИКА: \( \dfrac{10!}{3!\,2!\,2!} = 151\,200 \).

Перестановки, в которых ни один элемент не стоит на своём месте: например, 231 и 312 для трёх элементов (все господа ушли в чужих шляпах). Число беспорядков из \( n \) элементов называется субфакториалом и обозначается \( !n \); \( !3 = 2 \), \( !4 = 9 \), \( !5 = 44 \).