Шесть незнакомых друг с другом пассажиров зашли в лифт на первом этаже одиннадцатиэтажного дома. Каждый из них может с равной вероятностью выйти на любом из десяти этажей. С какой вероятностью: а) на первых трёх этажах не выйдет ни один из пассажиров; б) все пассажиры выйдут на первых шести этажах; г) все пассажиры выйдут на одном этаже; д) все пассажиры выйдут на разных этажах; е) на каждом этаже, где будет останавливаться лифт, выйдут по два пассажира?
Найдите вероятности а), б), г), д), е).
Ответ
Каждый пассажир независимо выбирает один из 10 этажей (со 2-го по 11-й): всего \( 10^6 \) равновозможных исходов — выбор с возвращением. «Первые три этажа», на которых можно выйти, — 2-й, 3-й, 4-й.
а) Каждый выходит на одном из 7 остальных этажей: \( \left(\dfrac{7}{10}\right)^6 \approx 0{,}118 \).
б) Каждый — на одном из 6 первых этажей: \( \left(\dfrac{6}{10}\right)^6 \approx 0{,}0467 \).
г) Все на одном этаже: 10 исходов из \( 10^6 \): \( \dfrac{10}{10^6} = 0{,}00001 \).
е) По два на каждом из трёх этажей: выбираем 3 этажа (\( C_{10}^3 = 120 \)) и разбиваем 6 пассажиров на три пары, приписанные к этим этажам (\( \dfrac{6!}{2!\,2!\,2!} = 90 \)): \( \dfrac{120 \cdot 90}{10^6} = 0{,}0108 \).
Из ящика с \( n \) неразличимыми на ощупь предметами \( k \) раз (\( k \le n \)) наугад вынимают по одному предмету, не возвращая его обратно. Элементарные исходы — размещения из \( n \) по \( k \), всего \( A_n^k \). Такой выбор не является испытаниями Бернулли (условия меняются), но вероятности считают по правилу умножения с условными вероятностями: 4 пирожка с капустой из 5 + 5 — \( \frac{5}{10} \cdot \frac49 \cdot \frac38 \cdot \frac27 = \frac{1}{42} \). Ровно \( k \) «успехов» в \( m \) извлечениях: произведение условных вероятностей для одной последовательности умножают на \( C_m^k \) (число способов расставить успехи) — частая ошибка забыть этот множитель.
\( P(\text{2 с капустой из 4}) = C_4^2 \cdot \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac49 \cdot \dfrac58 \cdot \dfrac47 = \dfrac{10}{21} \)
Одновременный случайный выбор
Из ящика с \( n \) предметами наугад вынимают сразу \( k \) предметов; элементарные исходы — сочетания из \( n \) по \( k \), всего \( C_n^k \). Выбор без возвращения всегда можно заменить одновременным, если событие не связано с порядком извлечения. Благоприятные исходы считают перемножением чисел сочетаний по группам: 3 мальчика из 10 и 3 девочки из 15 — \( C_{10}^3 C_{15}^3 \) из \( C_{25}^6 \), \( P \approx 0{,}308 \). Иногда проще рассуждать через отдельные предметы: песня попадёт в первую пятёрку из 10 с вероятностью \( \frac{5}{10} \), две песни — \( \frac{5}{10} \cdot \frac49 = \frac29 \).
Вынутый предмет возвращают в ящик перед следующим извлечением; состав ящика не меняется, вероятность успеха постоянна, испытания независимы — это испытания Бернулли, и работает формула Бернулли (щуки-долгожительницы: \( P_3(3) = (3/25)^3 \approx 0{,}00173 \)). Ограничение \( k \le n \) снимается. В социологии выборка без возвращения называется бесповторной, с возвращением — повторной; если генеральная совокупность очень велика, различие стирается и бесповторную выборку считают повторной (35 % работающих с высшим образованием, выборка из 100 человек).
В классе из 25 человек хотя бы двое празднуют день рождения в один день с вероятностью \( 1 - \dfrac{365 \cdot 364 \cdot \ldots \cdot 341}{365^{25}} \approx 1 - 0{,}4313 = 0{,}5867 > 0{,}5 \). Людей немного, а вероятность совпадения больше половины: для конкретной пары она мала (\( \frac{1}{365} \)), но пар в классе 300. Уже для 23 человек вероятность превышает 0,5, для 41 — 0,9, для 57 — 0,99; при 366 людях совпадение гарантировано.
Если исходы опыта — перестановки \( n \) объектов (очередь, письма по конвертам, режим shuffle), всего исходов \( n! \). Перестановки с повторениями: одинаковые элементы можно менять местами, слово не меняется, поэтому число различных слов равно \( \dfrac{n!}{k_1!\,k_2! \ldots} \) (МАТЕМАТИКА — \( 10!/(3!\,2!\,2!) = 151\,200 \)), а вероятность получить заданное слово при случайной раскладке карточек равна \( \dfrac{k_1!\,k_2! \ldots}{n!} \). Беспорядок — перестановка, в которой ни один элемент не стоит на своём месте; их число — субфакториал \( !n \); \( !3 = 2 \), \( !4 = 9 \), отношение \( !n/n! \) стремится к \( 1/e \approx 0{,}368 \). Равновозможными бывают не только исходы, но и события: порядок трёх заданных артистов среди \( n \) — любой из 6 с вероятностью \( \frac16 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
